Individuare i sottocampi reali di questo campo di spezzamento
Ho un problema con un esercizio di teoria di Galois, anche se credo sia piu' un problema di teoria dei gruppi. Cercando di riassumere (buona parte dell'esercizio l'ho svolta) la questione e' questa:
Ho l'estensione di campi $E$ su $QQ$ dove $E$ e' il campo di spezzamento di $f(x)=x^5-5\inQQ[x]$ e devo dire quali sono le estensioni di $QQ$ contenute in $E \cap RR$ (esibendone proprio i generatori per ognuna).
Siano $\alpha$ la radice quinta reale di $5$ e $\zeta=exp(\frac{2\pi i}{5})$ la radice quinta primitiva dell'unita'.
Ho gia' mostrato che $G:=Gal(E/QQ)$ e' prodotto semidiretto dei due seguenti sottogruppi ciclicii:
$H:=Gal(E/{QQ(\zeta)})=<\rho : E \to E>$ con $\rho(\alpha)=\zeta \alpha$ e $\rho(\zeta)=\zeta$
$K:=Gal(E/{QQ(\alpha)})=<\sigma : E \to E>$ con $\sigma(\alpha)=\alpha$ e $\sigma(\zeta)=\zeta^2$
Questi due sottogruppi hanno ordine rispettivamente $5$ e $4$ mentre $G$ ha ordine $20$, inoltre ho che $K$ e' normale in $G$ mentre $H$ non lo e'. Il mio problema ora e' capire quali siano i sottocampi reali di $E$, grazie al teorema fondamentale della teoria di Galois so che essi sono in corrispondenza con i sottogruppi di $G$.
Inoltre mi sono accorto che $\sigma^2$ e' il coniugio complesso e quindi il sottocampo di $E$ fissato da $<\sigma^2>$ e' proprio il piu' grande sottocampo contenuto in $E$ e in $RR$, detto in altri termini $E \cap RR=E^{<\sigma^2>}$ (spero che questa notazione sia universale, intendo il campo fissato comunque).
Dunque il mio problema ora si traduce nel cercare tutti i sottogruppi di $G$ contenenti il sottogruppo $<\sigma^2>$, ed e' qui che non riesco a proseguire.
Ammesso che quanto detto fino ad ora sia corretto, qualcuno ha qualche idea su come proseguire?
Ho l'estensione di campi $E$ su $QQ$ dove $E$ e' il campo di spezzamento di $f(x)=x^5-5\inQQ[x]$ e devo dire quali sono le estensioni di $QQ$ contenute in $E \cap RR$ (esibendone proprio i generatori per ognuna).
Siano $\alpha$ la radice quinta reale di $5$ e $\zeta=exp(\frac{2\pi i}{5})$ la radice quinta primitiva dell'unita'.
Ho gia' mostrato che $G:=Gal(E/QQ)$ e' prodotto semidiretto dei due seguenti sottogruppi ciclicii:
$H:=Gal(E/{QQ(\zeta)})=<\rho : E \to E>$ con $\rho(\alpha)=\zeta \alpha$ e $\rho(\zeta)=\zeta$
$K:=Gal(E/{QQ(\alpha)})=<\sigma : E \to E>$ con $\sigma(\alpha)=\alpha$ e $\sigma(\zeta)=\zeta^2$
Questi due sottogruppi hanno ordine rispettivamente $5$ e $4$ mentre $G$ ha ordine $20$, inoltre ho che $K$ e' normale in $G$ mentre $H$ non lo e'. Il mio problema ora e' capire quali siano i sottocampi reali di $E$, grazie al teorema fondamentale della teoria di Galois so che essi sono in corrispondenza con i sottogruppi di $G$.
Inoltre mi sono accorto che $\sigma^2$ e' il coniugio complesso e quindi il sottocampo di $E$ fissato da $<\sigma^2>$ e' proprio il piu' grande sottocampo contenuto in $E$ e in $RR$, detto in altri termini $E \cap RR=E^{<\sigma^2>}$ (spero che questa notazione sia universale, intendo il campo fissato comunque).
Dunque il mio problema ora si traduce nel cercare tutti i sottogruppi di $G$ contenenti il sottogruppo $<\sigma^2>$, ed e' qui che non riesco a proseguire.
Ammesso che quanto detto fino ad ora sia corretto, qualcuno ha qualche idea su come proseguire?
Risposte
Sia $X$ un sottogruppo di $G$ che contiene $\sigma^2$.
Se $5$ divide $\#X$, allora $H$ (l’unico sottogruppo di $G$
di cardinalita’ $5$ e quindi normale) e’ contenuto in $X$.
Poiche’ $G//H\cong K$ e’ ciclico di ordine $4$, ci sono due
possibilita': $X=G$ oppure $X$ e’ il sottogruppo generato
da $H$ e $\sigma^2$. I sottocampi corrispondenti sono $QQ$ e $QQ(\sqrt{5})$.
Se $5$ non divide $\#X$, sia $x=\rho^i\sigma^j$ un elemento arbitrario
di $X$. Allora, anche il commutatore $[x,\sigma^2]=\rho^{3i}$ sta in $X$.
Quindi, per forza $i=0$ e $x=\sigma^j$. Abbiamo che $X\subset K$.
Si ha quindi che $X=K$ con campo fisso $QQ(root(5)(5))$
oppure $X=\langle\sigma^2\rangle$ con campo fisso $QQ(root(5)(5),\sqrt{5})$.
Se $5$ divide $\#X$, allora $H$ (l’unico sottogruppo di $G$
di cardinalita’ $5$ e quindi normale) e’ contenuto in $X$.
Poiche’ $G//H\cong K$ e’ ciclico di ordine $4$, ci sono due
possibilita': $X=G$ oppure $X$ e’ il sottogruppo generato
da $H$ e $\sigma^2$. I sottocampi corrispondenti sono $QQ$ e $QQ(\sqrt{5})$.
Se $5$ non divide $\#X$, sia $x=\rho^i\sigma^j$ un elemento arbitrario
di $X$. Allora, anche il commutatore $[x,\sigma^2]=\rho^{3i}$ sta in $X$.
Quindi, per forza $i=0$ e $x=\sigma^j$. Abbiamo che $X\subset K$.
Si ha quindi che $X=K$ con campo fisso $QQ(root(5)(5))$
oppure $X=\langle\sigma^2\rangle$ con campo fisso $QQ(root(5)(5),\sqrt{5})$.
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