Indice di un sottogruppo in un gruppo

[aram1]

Ho provato a fare un esempio sul noto teorema di Lagrange per gruppi finiti, ma non mi tornano alcune cose...il teorema afferma che:
Dato G gruppo finito abeliano, ogni sottogruppo H di G è tale che: $|G|= |H| [G]$.

Ora, prendendo $G=Z_6$, i suoi sottogruppi sono $<[2]_6>$, $<[3]_6>$,$<[0]_6>=\{ [0]_6\}$ e $Z_6$ stesso, che risulta essere generato da $[1]_6$. Fin qui tutto torna, giusto?
Se ora considero $<[3]_6>$, esso da quali e quanti elementi è costituito? A me risulta $<[3]_6>=\{[0]_6,[3]_6\}$. E' giusto o sbagliato? Dato che sono due elementi, posso considerare questo gruppo come $\{[0]_6,[1]_6\}$ invece di $[0]_6$ e $[3]_6$? Perchè poi se considero i laterali destri di $<[3]_6>=\{[0]_6,[3]_6\}$ in $Z_6$ essi risultano 2 e non 3, come invece dice il teorema di Lagrange:
Laterali: $<[3]_6>\cdot [0]_6=\{[0]_6\}$
$<[3]_6>\cdot [1]_6=\{[0]_6,[3]_6\}$
$<[3]_6>\cdot [2]_6=\{[0]_6\}$
$<[3]_6>\cdot [3]_6=\{[0]_6,[3]_6\}$
$<[3]_6>\cdot [4]_6=\{[0]_6\}$
$<[3]_6>\cdot [5]_6=\{[0]_6,[3]_6\}$
Allora c'è qualcosa che torna: innanzitutto i laterali devono essere disgiunti tra loro, invece non lo sono perchè $[0]_6$ compare in tutti, come si vede qui sopra. E poi: perchè, come ho già scritto, questi benedetti laterali sono due e non tre? Ringrazio chi avrà la pazienza di mettermi un po' di chiarezza!

[Gi81]

Il problema è che il gruppo è $(ZZ_6, +)$, non $(ZZ_6,*)$ .
Quando consideri i laterali devi scrivere $<[3]_6> + [x]_6$. Con il $+$, non con il $*$.

Altra cosa: $<[3]_6 > = {[0]_6,[3]_6}$, che non è per nulla uguale a ${[0]_6, [1]_6}$ (che non è un sottogruppo di $ZZ_6$)

[aram1]

grazie, come ho fatto a non pensarci prima!