Incominciare a fare logica seriamente

mugnai alberto
Salve a tutti,
sono uno studioso di filosofia con una formazione schiettamente filosofica e teoretica. Negli ultimi anni mi sono avvicinato a piccoli passi nei sentieri della cosiddetta ''filosofia analitica'', termine che designa un contemporaneo atteggiamento filosofico incentrato su temi linguistici, scientifici e logici. Per quanto concerne il linguaggio non ho mai avuto particolari problemi (considerando che è già tutto nel Cratilo di Platone...) mentre per quanto riguarda gli ambienti logici le asperità si fanno sentire.

Per quanto riguarda la logica del ramo analitico, intendo gli sviluppi formali e non post-Boole (ma, più precisamente, post-Leibniz). Ora. Ho incominciato percorrendo i livelli elementari e base di ogni logica formale (tavole di verità, deduzioni materiali ecc.) grazie a buoni manuali semplici e intuitivi (Berto, D'Agostini, Varzi e Palladino) solo che adesso le questioni si fanno più complesse. Molta filosofia analitica si abbevera di (cito) logica modale e logica di secondo ordine. E questioni relative a ''cose'' come il paradosso di Skolem o la prova ontologica di Godel.

Quello che vi volevo chiedere è un indirizzo di carattere bibliografico in questo senso e, pur sapendo di chiedere molto, l'iter che la logica del Novecento ha avuto per arrivare a tali temi.

Mi spiego, conosco bene a livello storico (grazie a manuali eccellenti come quelli dei coniugi Kneale) la situazione della logica dei fondamenti (Frege, Russell fino alla mazzatta di Godel), ma già spingermi sino a Hilbert (e quindi figuriamoci dopo) è un terreno dove ci sono leoni. Come si arriva alla logica modale, sistemi S5, logica di secondo ordine, sistema ZFC e similari?

VI ringrazio infinitamente

Risposte
killing_buddha
Un problema enorme, per te, è che la logica hilbertiana è già obsoleta per noi matematici... Figuriamoci poi che divario esiste tra lo stato dell'arte attuale e cose ancora più antiche e convenzionali!

Il mio consiglio è di diventare fluente in linguaggi più vicini alla pratica matematica attuale, come la teoria intuizionista dei tipi, la teoria dei modelli e la logica categoriale. Chiedi come si fa ad arrivare ad averne una conoscenza: lo si fa aprendo un libro e studiando :)

mugnai alberto
"killing_buddha":
Un problema enorme, per te, è che la logica hilbertiana è già obsoleta per noi matematici... Figuriamoci poi che divario esiste tra lo stato dell'arte attuale e cose ancora più antiche e convenzionali!

Il mio consiglio è di diventare fluente in linguaggi più vicini alla pratica matematica attuale, come la teoria intuizionista dei tipi, la teoria dei modelli e la logica categoriale. Chiedi come si fa ad arrivare ad averne una conoscenza: lo si fa aprendo un libro e studiando :)

Questo lo so bene, caro killing_buddha. Posso chiederti, per le teorie e ambiti che hai citato, quali testi mi consigli di ''aprire''? Conscio che il mio livello è, chiaramente, elementare.

(legato a ciò che ha scritto potrei porvi un'altra domanda, che per voi potrà sembrare assurda, perché questo legame così stretto tra logica e matematica, sino a diventare logica matematica? Capisco che la domanda possa apparire naif, ma vi assicuro che a livello di statuto epistemologico la questione è tutt'altro che banale)

killing_buddha
Come si arriva alla logica modale, sistemi S5, logica di secondo ordine, sistema ZFC e similari?

E' strano parlare di "arrivare" a ZFC quando (un qualche modello di teoria degli insiemi dove interpretare) ZFC è la base su cui la matematica corrente è intessuta. Da ZFC semmai si parte, nascostamente, per studiare matematica.

Il mio secondo consiglio è che l'unico modo serio di apprendere i fondamenti della matematica è avendo eseguito una quantità sufficiente di matematica concreta; rischi, altrimenti, di commettere due gravi errori: il primo, ignorare cosa quei fondamenti stanno davvero fondando. Il secondo, ignorare un ottimo campo di applicazione per quei fondamenti a causa del fatto che ignori le fattezze di quel campo di applicazione.

Ritengo di avere un rispetto sacrale per i fondamenti della disciplina che studio, e ho tutto l'interesse a incentivare chiunque voglia imbarcarsi nelle sue torbide profondità, ma ho il dovere di ammonire queste stesse persone che avventurarsi nello studio dei fondamenti senza sapere la matematica è un'impresa fallimentare sotto tutti i punti di vista (non parlo qui del riconoscimento accademico: la comunità dei filosofi della matematica ha un analfabetismo matematico imbarazzante, che a mio parere priva di serietà il loro lavoro, completamente e minandolo alla base; essa è, grazie a questo, incapace di riconoscere che la quasi totalità dei filosofi della matematica brancola in un buio di ignoranza tecnica e si parla addosso rispetto a problemi-che-non-sono-problemi).

Tu parli di logica modale; essa è certamente una parte della logica comtemporanea, ma trovo molto più utile per il punto di vista che vuoi ottenere, familiarizzare con certe parti della logica geometrica (un tipo particolare di logica modale dove gli operatori di possibilità e necessità si comportano essenzialmente come gli operatori di chiusura e di interno di uno spazio topologico -e i valori di verità stessi formano una algebra di Heyting più complicata di $\{0,1\}$-). Ma tu sai cos'è uno spazio topologico? No, ovviamente no[1]: e allo stesso modo scommetto che hai un'idea vaga di cosa sia un'algebra di Heyting.

Un'altra cosa con cui secondo me è necessario essere familiari per avere una qualche parvenza di serietà è la logica categoriale, e in special modo la semantica funtoriale costruita da William Lawvere negli anni '60. Essa è allo stesso tempo una delle vette del pensiero matematico del XX secolo, una rivoluzione nei termini in cui pensiamo la teoria degli insiemi dotati di struttura, e la teoria che si occupa di studiare in astratto tutte queste teorie (si chiama "teoria dei modelli"), un frammento di matematica di estrema semplicità ed eleganza (una teoria è una categoria, uno "schizzo" della struttura che vuoi rappresentare, minimale e cruda; un modello per una teoria è un funtore che interpreta quella teoria realizzandone la struttura in un contesto concreto). Ma anche qui: tu sai cosa sono una categoria, un funtore, un funtore che preserva i limiti finiti, e per quale motivo questa definizione ha sbaragliato completamente l'assetto medievale in cui era l'algebra universale prima di quel momento? No, ovviamente no.

E dovresti. :)


[1] Ovviamente non voglio offenderti: se sai cos'è uno spazio topologico, meglio per te. Partiamo da qui: dimostra che il reticolo degli aperti di uno spazio topologico è un'algebra di Heyting. E' vero il viceversa? Esiste, cioè, un'algebra di Heyting che non risulta dal reticolo degli aperti di uno spazio topologico?

killing_buddha
Come penso che ormai sia chiaro, mi sento di consigliarti di partire studiando un po' di matematica. Qualsiasi libro che riesce a parlarti di teoria dei modelli, teoria della dimostrazione, teoria degli insiemi e logica categoriale senza fare affidamento sulle tue competenze linguistiche in matematica sta mentendo e ti sta raccontando qalcosa di molto diverso dalla "nostra" logica. Quindi i preliminari sono un po' di algebra lineare, dei rudimenti di analisi, un po' (tanta) algebra astratta, topologia generale... e un minimo di teoria degli insiemi. Poi, e solo poi, possiamo cominciare a fare sul serio.

mugnai alberto
"killing_buddha":
Come si arriva alla logica modale, sistemi S5, logica di secondo ordine, sistema ZFC e similari?

E' strano parlare di "arrivare" a ZFC quando (un qualche modello di teoria degli insiemi dove interpretare) ZFC è la base su cui la matematica corrente è intessuta. Da ZFC semmai si parte, nascostamente, per studiare matematica.

Il mio secondo consiglio è che l'unico modo serio di apprendere i fondamenti della matematica è avendo eseguito una quantità sufficiente di matematica concreta; rischi, altrimenti, di commettere due gravi errori: il primo, ignorare cosa quei fondamenti stanno davvero fondando. Il secondo, ignorare un ottimo campo di applicazione per quei fondamenti a causa del fatto che ignori le fattezze di quel campo di applicazione.

Ritengo di avere un rispetto sacrale per i fondamenti della disciplina che studio, e ho tutto l'interesse a incentivare chiunque voglia imbarcarsi nelle sue torbide profondità, ma ho il dovere di ammonire queste stesse persone che avventurarsi nello studio dei fondamenti senza sapere la matematica è un'impresa fallimentare sotto tutti i punti di vista (non parlo qui del riconoscimento accademico: la comunità dei filosofi della matematica ha un analfabetismo matematico imbarazzante, che a mio parere priva di serietà il loro lavoro, completamente e minandolo alla base; essa è, grazie a questo, incapace di riconoscere che la quasi totalità dei filosofi della matematica brancola in un buio di ignoranza tecnica e si parla addosso rispetto a problemi-che-non-sono-problemi).

Tu parli di logica modale; essa è certamente una parte della logica comtemporanea, ma trovo molto più utile per il punto di vista che vuoi ottenere, familiarizzare con certe parti della logica geometrica (un tipo particolare di logica modale dove gli operatori di possibilità e necessità si comportano essenzialmente come gli operatori di chiusura e di interno di uno spazio topologico -e i valori di verità stessi formano una algebra di Heyting più complicata di $\{0,1\}$-). Ma tu sai cos'è uno spazio topologico? No, ovviamente no[1]: e allo stesso modo scommetto che hai un'idea vaga di cosa sia un'algebra di Heyting.

Un'altra cosa con cui secondo me è necessario essere familiari per avere una qualche parvenza di serietà è la logica categoriale, e in special modo la semantica funtoriale costruita da William Lawvere negli anni '60. Essa è allo stesso tempo una delle vette del pensiero matematico del XX secolo, una rivoluzione nei termini in cui pensiamo la teoria degli insiemi dotati di struttura, e la teoria che si occupa di studiare in astratto tutte queste teorie (si chiama "teoria dei modelli"), un frammento di matematica di estrema semplicità ed eleganza (una teoria è una categoria, uno "schizzo" della struttura che vuoi rappresentare, minimale e cruda; un modello per una teoria è un funtore che interpreta quella teoria realizzandone la struttura in un contesto concreto). Ma anche qui: tu sai cosa sono una categoria, un funtore, un funtore che preserva i limiti finiti, e per quale motivo questa definizione ha sbaragliato completamente l'assetto medievale in cui era l'algebra universale prima di quel momento? No, ovviamente no.

E dovresti. :)


[1] Ovviamente non voglio offenderti: se sai cos'è uno spazio topologico, meglio per te. Partiamo da qui: dimostra che il reticolo degli aperti di uno spazio topologico è un'algebra di Heyting. E' vero il viceversa? Esiste, cioè, un'algebra di Heyting che non risulta dal reticolo degli aperti di uno spazio topologico?

Figurati, no che non mi offendi. Anzi, ho scritto proprio perché ho lacune molto profonde e ampie su questi temi.
Posso già dirti, non senza imbarazzo, di non avere nessuna familiarità con i concetti da te citati; tanto che alcuni non li avevo sentiti nominare prima.
Colgo, e condivido nel mio piccolo, il tuo consiglio sulle basi solide da cui cominciare. Come è noto gli uomini non possiedono la scienza infusa e quindi non posso acquisire certi concetti grazie ad illuminazioni divine. Se conosci buoni manuali che potranno aiutarmi ti ringrazio e, se posso abusare della tua pazienza, ti chiederei di delinearmi un po' più precisamente il ''percorso ideale'' dallo stadio elementare a livelli progressivamente più alti in questi temi

killing_buddha
E' ovviamente una domanda che in altre forme tante persone prima di te hanno fatto; non esiste una via regale e persone diverse troveranno la propria strada ideale in libri diversi. Prova a consultare il libro "Abstract Algebra" di Pierre Grillet per una visione generale sull'algebra astratta. E' uno dei miei preferiti, è scritto in modo moderno e chiaro. Per un po' di teoria dei modelli credo la cosa migliore tu possa fare è leggere le dispense di A. Berarducci che si trovano sul suo sito http://people.dm.unipi.it/berardu/
Per quanto riguarda la teoria delle categorie posso consigliarti il libro da cui ho iniziato io: "Category theory" di S. Awodey. Lui è un filosofo che scrive per matematici. Lo trovo un ottimo modo di iniziare. Altrimenti c'è un testo più moderno: "Category theory in Context" di Emily Riehl.
E' possibile trovare molte cose interessanti in un libro di teoria delle categorie :) certamente piu interessanti di quelle che trovi in un testo di teoria di Galois.

mugnai alberto
"killing_buddha":
E' ovviamente una domanda che in altre forme tante persone prima di te hanno fatto; non esiste una via regale e persone diverse troveranno la propria strada ideale in libri diversi. Prova a consultare il libro "Abstract Algebra" di Pierre Grillet per una visione generale sull'algebra astratta. E' uno dei miei preferiti, è scritto in modo moderno e chiaro. Per un po' di teoria dei modelli credo la cosa migliore tu possa fare è leggere le dispense di A. Berarducci che si trovano sul suo sito http://people.dm.unipi.it/berardu/
Per quanto riguarda la teoria delle categorie posso consigliarti il libro da cui ho iniziato io: "Category theory" di S. Awodey. Lui è un filosofo che scrive per matematici. Lo trovo un ottimo modo di iniziare. Altrimenti c'è un testo più moderno: "Category theory in Context" di Emily Riehl.
E' possibile trovare molte cose interessanti in un libro di teoria delle categorie :) certamente piu interessanti di quelle che trovi in un testo di teoria di Galois.

Ti ringrazio, partirò dalle dispense.

Se posso fare una domanda più generale e ingenua, quali sono i concetti matematici chiave per la logica contemporanea?

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.