Inclusione di Estensioni

[antofilo-votailprof]

Ciao, ho il seguente problema.

Sia $a = sqrt(1-sqrt(3))$, determinare
1) grado di $a$ su $Q$
2) Provare che $Q(sqrt(3))$ è incluso in $Q(a)$ e che $a$ non appartiene a $Q(sqrt(3))$

Spiego fin dove sono arrivato e dove mi blocco (magari controllatemi se ciò che ho fatto è esatto!!

1) qui basta determinare il polinomio minimo di $a$ su $Q$: questo è $f = x^4 - 2x^2 - 2$, quindi il grado richiesto è 4.

2) per provare l'inclusione ho fatto in questo modo:

$sqrt(1- sqrt(3)) \in Q(sqrt(a))$ segue, poiché $Q(sqrt(a)) \ {0}, *)$ gruppo, $sqrt(1- sqrt(3)) * sqrt(1- sqrt(3)) \in Q(a)$, ovvero

$(1 - sqrt(3)) \in Q(a)$, ovvero $(1 - (1 - sqrt(3))) \in Q(a)$ ovvero $sqrt(3) \in Q(a)$.

Da qui si deduce l'inclusione.
Spero questi punti siano fatti bene..

Per quanto riguarda l'ultima richiesta, il dimostrare la non appartenenza, stavo pensando di fare quanto sopra e trovare un assurdo, oppure ragionare con i gradi... ma non sto riuscendo.

Riuscite ad aiutarmi?

Grazie

[antofilo-votailprof]

Nessuno riesce ad aiutarmi?

[jinsang]

Che grado ha l'estensione $mathbb{Q}(\sqrt(3))$ su $mathbb{Q}$?

[antofilo-votailprof]

Ha grado 2

[jinsang]

Esatto.
Invece hai detto che l'altra ha grado 4.
Se valesse $a\in\mathbb{Q}(\sqrt(3))$ allora $mathbb{Q}(a)=mathbb{Q}(\sqrt(3))$ (avremmo entrambe le inclusioni)
Ma hanno gradi diversi.