In Z la relazione di uguaglianza è simmetrica

[olanda2000]

Nell'insieme Z degli interi, la relazione di uguaglianza è simmetrica?

Io dico di sì, guardando la definizione di relazione simmetrica:
per qualsiasi coppia di elementi (a,b) scelta nell'insieme Z : aRb ==> bRa

Se scelgo a=b allora l'implicazione è vera : V ==> V
Se a =/= b allora l'implicazione è ancora vera , in quanto
F ==> F è Vera

E' corretto il ragionamento ?
Cioè io considero tutte le possibili coppie di elementi dell'insieme Z, non sono quelle che soddisfano la relazione.

Grazie

[megas_archon]

In tutti gli insiemi, la relazione di uguaglianza è simmetrica, non ha niente a che fare con gli interi.

[olanda2000]

"megas_archon":In tutti gli insiemi, la relazione di uguaglianza è simmetrica, non ha niente a che fare con gli interi.

Ok, ma il mio ragionamento è corretto?
cioè faccio il test su tutte le possibili coppie di elementi dell'insieme, non solo su quelle che soddisfano la relazione ( come fanno i libri di testo ). Es l'insieme dei residenti in Italia ( relazione: abitare nella stessa città) prendono in considerazione sempre due abitanti della stessa città per dimostrare la simmetria. E gli altri ?

[Studente Anonimo]

"olanda2000":
Ok, ma il mio ragionamento è corretto?
cioè faccio il test su tutte le possibili coppie di elementi dell'insieme, non solo su quelle che soddisfano la relazione ( come fanno i libri di testo ). Es l'insieme dei residenti in Italia ( relazione: abitare nella stessa città) prendono in considerazione sempre due abitanti della stessa città per dimostrare la simmetria. E gli altri ?

No! Il tuo ragionamento è sbagliato! Se \(\sim \) è la relazione "abitare nella stessa città" per verificare che è simmetrica devi verificare soltanto: "se \(a \sim b \) allora \(b \sim a \)" e basta!
Quindi è sufficiente dimostrare che se \( \text{Alberto abita nella stessa città di Beatrice} = a \sim b \) è vero allora anche \( \text{Beatrice abita nella stessa città di Alberto} = b \sim a \) è vero! Se prendi due abitanti, \(a,b\) e \(a\) non abita nella stessa città di \(b\) allora \(a\) non è in relazione con \(b\) e non devi verificare nulla! Che poi questo per simmetria implica che pure \(b\) non è in relazione con \(a\) è vero sì, ma è una conseguenza della simmetria della relazione! Infatti se avessi per assurdo che esistono \(a,b\) tale che \( a \not\sim b\) ma \(b \sim a \), per simmetria avresti \( a \sim b \) contraddicendo l'ipotesi.