Implicazione
Nei testi che leggo quando si parla di implicazione si asserisce che \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) è vera anche se \(\displaystyle P \) è falsa e \(\displaystyle Q \) è vera o sono entrambe false. Riflettendoci su ho pensato che ciò non è sicuramente in contraddizione con la definizione di implicazione ma non lo sarebbe neanche considerare \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) falso per questi due casi.
Se vogliamo muoverci in un sistema logico che rispetti il principio del terzo escluso e di non contraddizone si deve avere uno solo dei due casi.
Ma non si tratta, come credo, di una scelta? E non potrebbe forse esserci anche un sistema in cui valgano, fermo restando i principi suddetti, \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) Falso se \(\displaystyle P \) è falso e \(\displaystyle Q \) è vero oppure se \(\displaystyle P \) è falso e \(\displaystyle Q \) è falso? Oppure addirittura rinunciando ai principi aristotelici avere un sistema logico in cui questi casi siano indefiniti?
Se di una scelta si tratta, questa è stata fatta per avere una sistema più potente nelle elaborazioni più complesse? Mi scuso se ho mancato di proprietà di linguaggio ma penso che il senso della mia domanda sia chiaro. Scuate anche se ho sbagliato sezione ma è il mio primo post.
Se vogliamo muoverci in un sistema logico che rispetti il principio del terzo escluso e di non contraddizone si deve avere uno solo dei due casi.
Ma non si tratta, come credo, di una scelta? E non potrebbe forse esserci anche un sistema in cui valgano, fermo restando i principi suddetti, \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) Falso se \(\displaystyle P \) è falso e \(\displaystyle Q \) è vero oppure se \(\displaystyle P \) è falso e \(\displaystyle Q \) è falso? Oppure addirittura rinunciando ai principi aristotelici avere un sistema logico in cui questi casi siano indefiniti?
Se di una scelta si tratta, questa è stata fatta per avere una sistema più potente nelle elaborazioni più complesse? Mi scuso se ho mancato di proprietà di linguaggio ma penso che il senso della mia domanda sia chiaro. Scuate anche se ho sbagliato sezione ma è il mio primo post.
Risposte
Perchè dici che $P \Rightarrow Q$ può essere falsa con $P$ falsa e $Q$ vera? $F \Rightarrow V = F$ significa, in pratica, che da premesse false non puoi arrivare a conclusioni vere...il che è falso! (cioè da premesse sbagliate puoi raggiungere conclusioni vere...ed esempi di questo ne possiamo trovare continuamente).
1) \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) dovrebbe essere letto: Se si verifica \(\displaystyle P \) ne consegue logicamente che si verifica \(\displaystyle Q \). Quindi coerentemente se \(\displaystyle P \) è vera la 1) è verificata per \(\displaystyle Q \) vera e non lo è per \(\displaystyle Q \) falsa. Ma se leggessimo così la proposizione dovremmo solo considerare il caso in cui \(\displaystyle P \) sia vera e non quello in cui \(\displaystyle P \) sia falsa.
ES. \(\displaystyle P \): inciampo, \(\displaystyle Q \):cado . \(\displaystyle P \Rightarrow Q \): se inciampo allora cado.
In un'osservazione può avvenire che cado perché inciapo e in quel caso \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) è vera, oppure che inciampo e non cado in questo caso \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) è falso.
Ma, per riferirmi al tuo caso, può succedere che \(\displaystyle P \) sia falsa: non inciampo e \(\displaystyle Q \) sia vera: cado perché sono spinto.
In questo caso la regola vuole che a \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) sia attribuito valore di verità anche se nell'osservazione non si è verificato che sono inciampato e come conseguenza logica caduto. Secondo il mio ragionamento, in questo caso, \(\displaystyle P \Rightarrow Q \ \) sarebbe indefinita e non vera, al più falsa se la vogliamo leggere nella sua interezza: Cado perché inciampo.
In conclusione nel mio ragionamento o c'è un errore e vorrei capire quale, oppure la regola più che logicamente necessaria è scelta per dotare il sistema di una rispondenza a certe proprietà che si necessità avere.
ES. \(\displaystyle P \): inciampo, \(\displaystyle Q \):cado . \(\displaystyle P \Rightarrow Q \): se inciampo allora cado.
In un'osservazione può avvenire che cado perché inciapo e in quel caso \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) è vera, oppure che inciampo e non cado in questo caso \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) è falso.
Ma, per riferirmi al tuo caso, può succedere che \(\displaystyle P \) sia falsa: non inciampo e \(\displaystyle Q \) sia vera: cado perché sono spinto.
In questo caso la regola vuole che a \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) sia attribuito valore di verità anche se nell'osservazione non si è verificato che sono inciampato e come conseguenza logica caduto. Secondo il mio ragionamento, in questo caso, \(\displaystyle P \Rightarrow Q \ \) sarebbe indefinita e non vera, al più falsa se la vogliamo leggere nella sua interezza: Cado perché inciampo.
In conclusione nel mio ragionamento o c'è un errore e vorrei capire quale, oppure la regola più che logicamente necessaria è scelta per dotare il sistema di una rispondenza a certe proprietà che si necessità avere.
Non si tratta di una scelta, ma della definizione che in logica si dà al simbolo $\to$.
In logica, $P \to Q$ è un modo carino e veloce di scrivere $\not P \vee Q$. Perciò se $P$ è falsa, per il principio del terzo escluso $\not P$ è vera, e quindi si ottiene che $P \to Q$ è vera.
Nella nostra testa è perfettamente lecito pensare che se $P$ è falsa allora $P \to Q$ è "indefinita"; ma la nostra testa non è la logica e l'indefinito non è contemplato dal principio del terzo escluso.
Per maggiori informazioni wiki sa tutto.
In logica, $P \to Q$ è un modo carino e veloce di scrivere $\not P \vee Q$. Perciò se $P$ è falsa, per il principio del terzo escluso $\not P$ è vera, e quindi si ottiene che $P \to Q$ è vera.
Nella nostra testa è perfettamente lecito pensare che se $P$ è falsa allora $P \to Q$ è "indefinita"; ma la nostra testa non è la logica e l'indefinito non è contemplato dal principio del terzo escluso.
Per maggiori informazioni wiki sa tutto.
Grazie mille hai centrato il punto 
, considerando \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) come una espressione sintetica dell'operazione composta $ \not P \vee Q $ tutto quadra.
Resta il fatto che la logica classica possa non essere l'unica possibile e credo che studi in merito siano stati fatti, quando mi spingerò oltre potrò appurarlo.
Credo che ci sia un piccolo errore di distrazione quando dici: "Perciò se $ P $ non è falsa, per il principio del terzo escluso $ \not P $ è vera, e quindi si ottiene che $ P \to Q $ è vera".
Se $ P $ è non falsa, allora è vera e $ \not P $ falsa.
Ciao e grazie ancora
, considerando \(\displaystyle P \Rightarrow Q \) come una espressione sintetica dell'operazione composta $ \not P \vee Q $ tutto quadra.Resta il fatto che la logica classica possa non essere l'unica possibile e credo che studi in merito siano stati fatti, quando mi spingerò oltre potrò appurarlo.
Credo che ci sia un piccolo errore di distrazione quando dici: "Perciò se $ P $ non è falsa, per il principio del terzo escluso $ \not P $ è vera, e quindi si ottiene che $ P \to Q $ è vera".
Se $ P $ è non falsa, allora è vera e $ \not P $ falsa.
Ciao e grazie ancora
Giusto...ho corretto sopra.
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