Immersioni di campi di numeri - Dubbio teorema

[Gi81]

Dato \(\displaystyle K \) campo di numeri (cioè un'estensione finita di \(\displaystyle \mathbb{Q} )\),
un'immersione di \(\displaystyle K \) in \(\displaystyle \mathbb{C} \) è un omomorfismo iniettivo da \(\displaystyle K \) in \(\displaystyle \mathbb{C} \).

Vale il seguente teorema:

Siano \(\displaystyle L \) e \(\displaystyle K \) campi di numeri, con \(\displaystyle \mathbb{Q} \subseteq K \subseteq L\).
Allora per ogni immersione \(\displaystyle \sigma: K \to \mathbb{C}\) esistono \(\displaystyle \bigl[L:K\bigr] \) immesioni \(\displaystyle \tau:L\to\mathbb{C}\) tali che \(\displaystyle \tau_{| K} = \sigma\).

La dimostrazione di questo teorema presenta un punto che non mi è del tutto chiaro:
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Dimostrazione:
Sappiamo già che \(\displaystyle \exists \alpha \in L \) tale che \(\displaystyle L = K(\alpha) \).
Sia \(\displaystyle p(x) \in K[x] \) il polinomio minimo di \(\displaystyle \alpha \) su \(\displaystyle K \):
\[p(x) = x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x +a_0 \qquad \qquad\qquad a_i \in K, \quad n=[L]\]
Ci basta definire \(\displaystyle \tau \) su \(\displaystyle K \) e su \(\displaystyle \alpha \).
Necessariamente \(\displaystyle \tau(a)= \sigma(a) \) per ogni \(\displaystyle a \in K \).

Per capire come definire \(\displaystyle \tau(\alpha) \), osserviamo che \(\displaystyle \tau\bigl(p(\alpha)\bigr)=\tau(0)\), dunque deve valere \(\displaystyle \tau\bigl(p(\alpha)\bigr)=0\).
Perciò \(\displaystyle 0=\tau\bigl( \alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1}+\ldots+a_0 \bigr)= \tau(\alpha)^n +\sigma(a_{n-1})\tau(\alpha)^{n-1}+\ldots+\sigma(a_1)\tau(\alpha)+\sigma(a_0) \)

Dunque \(\displaystyle \tau(\alpha) \) è radice del polinomio \(\displaystyle x^n +\sigma(a_{n-1})x^{n-1}+\ldots +\sigma(a_1) x +\sigma(a_0) = (\sigma p)(x) \).

A questo punto si dice: dato che \(\displaystyle p(x) \) è irriducibile e \(\displaystyle \sigma \) è un omomorfismo, \(\displaystyle (\sigma p)(x) \) è irriducibile.
Inoltre il grado di \(\displaystyle (\sigma p) (x) \) è lo stesso del grado di \(\displaystyle p(x) \), cioè \(\displaystyle n= [L] \).

Quindi per ogni radice \(\displaystyle \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n \in \mathbb{C}\) di \(\displaystyle(\sigma p) (x)\) (distinte due a due), definiamo \(\displaystyle \tau_i (\alpha)= \beta_i \).

Abbiamo quindi ottenuto \(\displaystyle [L] \) immersioni da \(\displaystyle L \) in \(\displaystyle \mathbb{C} \). Fine.
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Ecco, quello che non capisco è la parte sottolineata: in base a cosa le radici \(\displaystyle \beta_i \) sono distinte a due a due?
Molto probabilmente è una stupidata... Ci sarà sotto qualcosa di molto semplice che però ora non mi ricordo.

[Studente Anonimo]

In base al fatto che ogni polinomio irriducibile è separabile in caratteristica zero (in altre parole i campi di caratteristica zero sono perfetti).

Infatti se [tex]f(x) \in K[X][/tex] è irriducibile di grado positivo allora è coprimo col polinomio derivato [tex]f'(x)[/tex] (perché quest'ultimo ha grado minore del grado di [tex]f(x)[/tex]), quindi esistono [tex]a(x),b(x) \in K[X][/tex] con
\[
f(x)a(x) + f'(x)b(x) = 1.
\]
Ne segue che [tex]f(x),f'(x)[/tex] non hanno zeri comuni, ed è facile vedere che uno 'zero multiplo' di [tex]f(x)[/tex] dovrebbe essere zero anche di [tex]f'(x)[/tex].

Questo argomento mostra che in generale un polinomio [tex]f(x) \in K[x][/tex] è separabile se e solo se [tex]f'(x)[/tex] non è il polinomio nullo. Per esempio [tex]X^p-1[/tex] non è separabile in caratteristica [tex]p[/tex] (in effetti è uguale a [tex](X-1)^p[/tex]).

[Gi81]

Martino, grazie mille!
Effettivamente non era poi così complicato (anche se nemmeno immediato). Mi sa che mi farò un ripasso di questo argomento.