Immersione di Z in Q

[margherita.ciampi]

Sappiamo che $\mathbb{Z}$ non è un campo in quanto gli unici elementi invertibili sono $1$ e $-1$ . Durante l’esame però la professoressa mi ha chiesto se $\mathbb{Z}$ si può immergere in $\mathbb{Q}$ in quanto esiste un teorema a riguardo. Non sono riuscita a trovare la risposta, qualcuno può aiutarmi?

[dan952]

Qual è l'omomorfismo iniettivo $i : ZZ \mapsto QQ$ più semplice che ti viene in mente?

[margherita.ciampi]

Quello identico!

[dan952]

Sicura? Parlare di omomorfismo identità mi pare non abbia molto senso dato che $ZZ \sub QQ$.

$i(n)=n/1$

[margherita.ciampi]

Purtroppo non so rispondere

[dan952]

La risposta è in spoiler

[margherita.ciampi]

E mi sa spiegare perché una volta immerso $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{Q}$ può essere considerato un campo?!

[fmnq]

"margherita.ciampi":E mi sa spiegare perché una volta immerso $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{Q}$ può essere considerato un campo?!

Non può, hai capito male la domanda che ti è stata fatta. Ma l'esame lo hai passato, anche senza sapere questa cosa?

[margherita.ciampi]

Ovviamente no

[vict85]

L'immersione canonica di \(\mathbb{Z}\) in \(\mathbb{Q}\) è un morfismo di anelli[nota]È anche un morfismo di gruppi, di insiemi ordinati e persino una immersione di spazi topologici se si usano le usuali topologie sui due insiemi.[/nota]. Non ha senso parlare di morfismi di campi quando una delle due strutture algebriche non è un campo.

[fmnq]

"vict85":L'immersione canonica di \(\mathbb{Z}\) in \(\mathbb{Q}\) è un morfismo di anelli...

Non c'è alcuna differenza, la categoria dei campi è una sottocategoria piena nella categoria degli anelli (commutativi unitari, con morfismi che mandano 1 in 1).

[vict85]

"fmnq":[quote="vict85"]L'immersione canonica di \(\mathbb{Z}\) in \(\mathbb{Q}\) è un morfismo di anelli...

Non c'è alcuna differenza, la categoria dei campi è una sottocategoria piena nella categoria degli anelli (commutativi unitari, con morfismi che mandano 1 in 1).[/quote]

Non ci sarebbe differenza se \(\mathbb{Z}\) appartenesse alla categoria dei campi. Ma siccome non ne fa parte, quel morfismo appartiene solo alla categoria degli anelli unitari.