Il valore dei polinomi in A[x]
Ho un dubbio che continua a ronzarmi per la testa e che non riesco a risolvere.
Nell'anello dei polinomi $A[x]$ ho i coefficienti in un anello $A$ e i valori di $x$ in un altro insieme (chiamiamolo $x$). Non capisco perché il valore di un polinomio $p(x)$ è in $A$.
Esempio:
In $Z_2[x]$ il polinomio $p(x) = x^2+1$ ha radici +1 e -1.
Il valore di $p(1)$ è $2$, cioè $0$.
Ma per dire che $2=0$ vuol dire che il valore del polinomio va preso in $Z_2$. Ma perché perché perché](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
? Il valore di un polinomio risulta da una somma di "moltiplicazioni esterne" tra un elemento dell'anello A (il coefficiente) e un elemento di X. Quindi la mia moltiplicazione è $A xx X -> $ , dove $? = A$. Perché A?
spero di essermi spiegata
Nell'anello dei polinomi $A[x]$ ho i coefficienti in un anello $A$ e i valori di $x$ in un altro insieme (chiamiamolo $x$). Non capisco perché il valore di un polinomio $p(x)$ è in $A$.
Esempio:
In $Z_2[x]$ il polinomio $p(x) = x^2+1$ ha radici +1 e -1.
Il valore di $p(1)$ è $2$, cioè $0$.
Ma per dire che $2=0$ vuol dire che il valore del polinomio va preso in $Z_2$. Ma perché perché perché
? Il valore di un polinomio risulta da una somma di "moltiplicazioni esterne" tra un elemento dell'anello A (il coefficiente) e un elemento di X. Quindi la mia moltiplicazione è $A xx X -> $ , dove $? = A$. Perché A?spero di essermi spiegata
Risposte
Nell'anello dei polinomi A[x] ho i coefficienti in un anello A e i valori di x in un altro insieme (chiamiamolo x).
A me hanno sempre detto che è buona usanza tenere separati concetti di polinomio e di funzione polinomiale. Quando si parla di polinomi le $x$ sono come dei "segnaposti" , non sono variabili in un certo insieme.
Dopodiché puoi far variare la $x$ in $A$ e ottenere così una funzione polinomiale.
Si potrebbe dire molto di più ovviamente, non so quale definizione tu abbia. Se vuoi approfondire e non l'hai ancora vista potresti cercarti la definizione tramite la proprietà universale (cioè come A-algebra commutativa libera generata da un insieme $X$ di variabili), e poi quello che passa sotto il nome di "principio di sostituzione" (che è quello che fondamentalmente ti permette di determinare la funzione polinomiale di $A$ in sé stesso come caso particolare)
Ciao FE, grazie per la risposta.
Cioè il polinomio è la scrittura sommatoria ecc., mentre la funzione polinomiale è la funzione che associa a ogni x il valore del polinomio? Non riesco però a collegarla a questo fatto.
Questo non mi è molto chiaro... nel momento in cui posso scrivere p.es. $P(5)$, non ho "preso" 5 in un insieme? Non mi è chiaro il significato di segnaposto.
L'unica cosa che mi viene in mente è che nell'algebra "del liceo" se ho un polinomio "in R" prendo i suoi coefficienti in R e cerco le radici in R, mentre se ho un polinomio "in C" prendo i coefficienti in C e cerco le radici in C.
più che per approfondire è che mi sembra una cosa fondamentale da giustificare formalmente, ma non ci riesco.
ecco questo non l'ho ancora fatto, lo guardo e vedo mi aiuta
"FE":
A me hanno sempre detto che è buona usanza tenere separati concetti di polinomio e di funzione polinomiale
Cioè il polinomio è la scrittura sommatoria ecc., mentre la funzione polinomiale è la funzione che associa a ogni x il valore del polinomio? Non riesco però a collegarla a questo fatto.
"FE":
Quando si parla di polinomi le x sono come dei "segnaposti" , non sono variabili in un certo insieme.
Questo non mi è molto chiaro... nel momento in cui posso scrivere p.es. $P(5)$, non ho "preso" 5 in un insieme? Non mi è chiaro il significato di segnaposto.
L'unica cosa che mi viene in mente è che nell'algebra "del liceo" se ho un polinomio "in R" prendo i suoi coefficienti in R e cerco le radici in R, mentre se ho un polinomio "in C" prendo i coefficienti in C e cerco le radici in C.
"FE":
Se vuoi approfondire
più che per approfondire è che mi sembra una cosa fondamentale da giustificare formalmente, ma non ci riesco.
e non l'hai ancora vista potresti cercarti la definizione tramite la proprietà universale (cioè come A-algebra commutativa libera generata da un insieme X di variabili), e poi quello che passa sotto il nome di "principio di sostituzione" (che è quello che fondamentalmente ti permette di determinare la funzione polinomiale di A in sé stesso come caso particolare)
ecco questo non l'ho ancora fatto, lo guardo e vedo mi aiuta
Sono stato un po' confusionario. "Segnaposto" serviva per darti un'idea intuitiva ma mi rendo conto di averti solo confuso.
Non capisco però che definizione tu abbia di anello di polinomi su un anello $A$. Per semplicità limitiamoci al caso di una sola variabile. Un polinomio di grado $n$ su $A$ in una variabile altro non è che una $n+1$-pla di elementi di $A$. La rappresentazione che hai in testa te come sommatoria di coefficienti in $A$ moltiplicati per potenze di $x$ è una scrittura puramente formale, è una notazione che aiuta psicologicamente a definire poi le operazioni che rendono questo insieme un anello. Una funzione polinomiale, che è un oggetto differente dal polinomio che la produce, è ciò che ottieni quando decidi che quelle $x$ puramente formali variano in $A$ e quel $+$ è l'addizione. Spero di essere stato un minimo più chiaro.
Non capisco però che definizione tu abbia di anello di polinomi su un anello $A$. Per semplicità limitiamoci al caso di una sola variabile. Un polinomio di grado $n$ su $A$ in una variabile altro non è che una $n+1$-pla di elementi di $A$. La rappresentazione che hai in testa te come sommatoria di coefficienti in $A$ moltiplicati per potenze di $x$ è una scrittura puramente formale, è una notazione che aiuta psicologicamente a definire poi le operazioni che rendono questo insieme un anello. Una funzione polinomiale, che è un oggetto differente dal polinomio che la produce, è ciò che ottieni quando decidi che quelle $x$ puramente formali variano in $A$ e quel $+$ è l'addizione. Spero di essere stato un minimo più chiaro.
"FE":
Sono stato un po' confusionario.
ci mancherebbe! anzi grazie per la pazienza, a volte mi impunto su un dubbio e non ci son santi.
"FE":
Un polinomio di grado n su A in una variabile altro non è che una n+1-pla di elementi di A. L
Mi sa che la definizione che pone il mio libro è diversa.
Qui dice che i coefficienti stanno in A, ma non dice dove stanno le x, e quindi dove tu scrivi "n+1-pla di elementi di A" io in base a questa definizione non posso scriverlo, oppure devo fare un passaggio per giustificarlo. Io non so ancora che le sommatorie, comunque intese - se come simboli o come funzioni - stanno in A.
Anche il tuo libro ti dice che sono combinazioni formali.
Un polinomio di grado $n$ a coeff in $A$ è un elemento dell'insieme $(A-{0}) xx A^n$. L'insieme dei polinomi in una variabile a coefficienti in $A$ si definisce come $A uu \bigcup_(n>=2) (A-{0}) xx A^(n-1)$. Se preferisci, l'insieme dei polinomi in una variabile su $A$ è la somma diretta di infinite copie del gruppo $A$.
Le $x$ non stanno da nessuna parte.
Un polinomio di grado $n$ a coeff in $A$ è un elemento dell'insieme $(A-{0}) xx A^n$. L'insieme dei polinomi in una variabile a coefficienti in $A$ si definisce come $A uu \bigcup_(n>=2) (A-{0}) xx A^(n-1)$. Se preferisci, l'insieme dei polinomi in una variabile su $A$ è la somma diretta di infinite copie del gruppo $A$.
Le $x$ non stanno da nessuna parte.
Mi spiace, non riesco a capire. Ma non voglio farti perdere altro tempo: ci rifletto meglio.
Grazie in ogni caso!
Grazie in ogni caso!
L'unica informazione importante sono i coefficienti, le $X$ e i $+$ non servono a nulla. Sono una scrittura formale , una notazione suggestiva che ti aiuta a capire come funzionano le operazioni. Ma volendo anche le operazioni si possono definire senza far riferimento a quella particolare rappresentazione del polinomio come se fosse una somma, cioè anche per definire le operazioni non è necessario vedere i polinomi in quel modo, è solo più comodo. Purtroppo meglio di così non sono capace di spiegarmi. Prova a guardare su un altro libro che sia un minimo più formale.
"FE":
Prova a guardare su un altro libro che sia un minimo più formale.
Ne ho guardato un sacco e non trovo quello che cerco, probabilmente perché è uno di quei dubbi su cui ogni tanto ci si intestardisce ma che sono frutto di qualche fraintendimento o confusione
Ci riprovo!
ri-grazie
Dato un anello $A$ è possibile definire l'anello $A[X]$ dei polinomi a coefficienti in $A$ in una indeterminata $X$ come segue: si considera l'insieme delle funzioni (insiemistiche) \[\mathcal P : \mathbb N \to A\] definitivamente nulle, ovvero nulle da un certo punto in poi, ovvero tali che: \[\exists N \in \mathbb N \text{ tale che } \forall n > N \ \ \mathcal P (n) = 0\] (dove $0$ è lo zero dell'anello $A$). L'insieme di tali funzioni sarà l'insieme a sostegno dell'anello $A[X]$. A questo punto torna utile notare che una tale funzione altro non è che una successione a valori in $A$, o una $\omega$-pla, insomma si può scrivere così: \[(\mathcal P (0),\mathcal P(1) ,\mathcal P(2) ,\ldots , \mathcal P(m) , \ldots )\] meglio, sapendo che è definitivamente nulla:
\[(\mathcal P (0),\mathcal P(1) ,\mathcal P(2) ,\ldots , \mathcal P(d) , 0, 0, 0, \ldots ).\] Ora per trasformare questo insieme in un gruppo basta prendere la somma membro a membro degli elementi, e dal momento che $A$ è un gruppo, lo sarà anche $A[X]$ (avente per zero la funzione costantemente nulla). Per il prodotto facciamo ricorso ad un trucco, ed indichiamo con \(X^{(n)}\) la funzione \(\mathbb N \to A\) definita come segue: \[X^{(n)}(m) = \begin{cases} 0 \text{ se } m\ne n\\ 1 \text{ se } m=n\end{cases}\] ovvero la successione $$X^{(n)} = (0,0, \ldots , 0, 1, 0 \ldots )$$ (dove $1$ è l'unità dell'anello $A$ e si trova al posto $n$).
Nota a margine: abbiamo già che $A[X]$ è un gruppo abeliano, perché $A$ lo è, ed è facile definire un "prodotto per scalari" (ovvero un'azione) di $A$ su $A[X]$ come si fa di solito per le $n$-ple: \[a \cdot (\mathcal P(i))_{i \in \mathbb N} = (a \mathcal P(i))_{i \in \mathbb N}.\] È un facile esercizio verificare che se $A$ è un campo $A[X]$ è un $A$-spazio vettoriale di dimensione infinita avente come base \(\{X^{(n)}\}\) (e in generale per $A$ anello commutativo $A[X]$ è un $A$-modulo libero di rango infinito avente \(\{X^{(n)}\}\) come sistema minimale di generatori).
(In virtù della nota a margine) Notiamo che possiamo scrivere ogni polinomio in maniera unica come \[\sum_{i \geq 0} \mathcal P (i) X^{(i)}\] e che tale somma è finita (di nuovo, perché le successioni sono definitivamente nulle). Allora definiamo il prodotto di polinomi attraverso la regola \[X^{(n)} \cdot X^{(m)} = X^{(m+n)}\] per questi elementi particolari e mantenendo per gli elementi di $A$ il prodotto in $A$. Questo basta ad avere un prodotto ben definito su $A[X]$ (le proprietà distributive completano univocamente la definizione). Ora è facile vedere che \(X^{(0)} = 1\) e \[X^{(n)} = (X^{(1)})^n\] quindi ponendo \(X^{(1)} = X\) possiamo denotare ogni polinomio come \[\sum_{i \geq 0} \mathcal P (i) X^i.\] Per comodità, conviene indicare i coefficienti del polinomio \(\mathcal P (i)\) con \(\mathcal P _i\) e l'elemento \(\sum_{i \geq 0} \mathcal P_i X^i \in A[X]\) semplicemente con \(\mathcal P\) o \(\mathcal P (X)\)
Questa è la costruzione dell'anello dei polinomi in una indeterminata associato ad un anello. Poi uno se ne dimentica e continua a usarli come li ha sempre usati, sapendo farci i conti. Il che va anche bene, tenendo conto che l'anello dei polinomi soddisfa una proprietà universale che fondamentalmente dice "puoi usarli come si fa al liceo", quindi per universalità, se esiste almeno una costruzione, allora è unica a meno di isomorfismo.
La storia continua col morfismo \(\nu : A[X] \to A^A : \mathcal P \mapsto P\) che associa ad ogni polinomio \(\sum_{i \geq 0} \mathcal P_i X^i \) la funzione \(P : A \to A : a \mapsto \sum_{i \geq 0} \mathcal P_i a^i \).
Esempio utile per far pratica con i concetti: $\nu$ non è sempre iniettiva. Per \(A = \mathbb Z / (2)\) si ha che la funzione \(a \mapsto a^2 + a\) associata al polinomio $X^2 + X$ è costantemente nulla, ovvero è uguale alla funzione \(a \mapsto 0\) associata al polinomio $0$, ma $X^2 + X \ne 0$.
Esercizio utile per far pratica con i concetti: sia $A$ un campo. Dimostrare che $\nu$ è iniettiva se e solo se $A$ è infinito.
\[(\mathcal P (0),\mathcal P(1) ,\mathcal P(2) ,\ldots , \mathcal P(d) , 0, 0, 0, \ldots ).\] Ora per trasformare questo insieme in un gruppo basta prendere la somma membro a membro degli elementi, e dal momento che $A$ è un gruppo, lo sarà anche $A[X]$ (avente per zero la funzione costantemente nulla). Per il prodotto facciamo ricorso ad un trucco, ed indichiamo con \(X^{(n)}\) la funzione \(\mathbb N \to A\) definita come segue: \[X^{(n)}(m) = \begin{cases} 0 \text{ se } m\ne n\\ 1 \text{ se } m=n\end{cases}\] ovvero la successione $$X^{(n)} = (0,0, \ldots , 0, 1, 0 \ldots )$$ (dove $1$ è l'unità dell'anello $A$ e si trova al posto $n$).
Nota a margine: abbiamo già che $A[X]$ è un gruppo abeliano, perché $A$ lo è, ed è facile definire un "prodotto per scalari" (ovvero un'azione) di $A$ su $A[X]$ come si fa di solito per le $n$-ple: \[a \cdot (\mathcal P(i))_{i \in \mathbb N} = (a \mathcal P(i))_{i \in \mathbb N}.\] È un facile esercizio verificare che se $A$ è un campo $A[X]$ è un $A$-spazio vettoriale di dimensione infinita avente come base \(\{X^{(n)}\}\) (e in generale per $A$ anello commutativo $A[X]$ è un $A$-modulo libero di rango infinito avente \(\{X^{(n)}\}\) come sistema minimale di generatori).
(In virtù della nota a margine) Notiamo che possiamo scrivere ogni polinomio in maniera unica come \[\sum_{i \geq 0} \mathcal P (i) X^{(i)}\] e che tale somma è finita (di nuovo, perché le successioni sono definitivamente nulle). Allora definiamo il prodotto di polinomi attraverso la regola \[X^{(n)} \cdot X^{(m)} = X^{(m+n)}\] per questi elementi particolari e mantenendo per gli elementi di $A$ il prodotto in $A$. Questo basta ad avere un prodotto ben definito su $A[X]$ (le proprietà distributive completano univocamente la definizione). Ora è facile vedere che \(X^{(0)} = 1\) e \[X^{(n)} = (X^{(1)})^n\] quindi ponendo \(X^{(1)} = X\) possiamo denotare ogni polinomio come \[\sum_{i \geq 0} \mathcal P (i) X^i.\] Per comodità, conviene indicare i coefficienti del polinomio \(\mathcal P (i)\) con \(\mathcal P _i\) e l'elemento \(\sum_{i \geq 0} \mathcal P_i X^i \in A[X]\) semplicemente con \(\mathcal P\) o \(\mathcal P (X)\)
Questa è la costruzione dell'anello dei polinomi in una indeterminata associato ad un anello. Poi uno se ne dimentica e continua a usarli come li ha sempre usati, sapendo farci i conti. Il che va anche bene, tenendo conto che l'anello dei polinomi soddisfa una proprietà universale che fondamentalmente dice "puoi usarli come si fa al liceo", quindi per universalità, se esiste almeno una costruzione, allora è unica a meno di isomorfismo.
La storia continua col morfismo \(\nu : A[X] \to A^A : \mathcal P \mapsto P\) che associa ad ogni polinomio \(\sum_{i \geq 0} \mathcal P_i X^i \) la funzione \(P : A \to A : a \mapsto \sum_{i \geq 0} \mathcal P_i a^i \).
Esempio utile per far pratica con i concetti: $\nu$ non è sempre iniettiva. Per \(A = \mathbb Z / (2)\) si ha che la funzione \(a \mapsto a^2 + a\) associata al polinomio $X^2 + X$ è costantemente nulla, ovvero è uguale alla funzione \(a \mapsto 0\) associata al polinomio $0$, ma $X^2 + X \ne 0$.
Esercizio utile per far pratica con i concetti: sia $A$ un campo. Dimostrare che $\nu$ è iniettiva se e solo se $A$ è infinito.
La somma con la $X$ è del tutto formale e la $X$ non sta in nessun insieme pre-definito. Per capirci: un polinomio è semplicemente un'associazione di un coefficiente ad ogni intero non negativo (grado). Una funzione polinomiale è una funzione vera e propria che prende in input elementi di A e sputa elementi di A.
Ti consiglio di vedere qui (la definizione di polinomio mi è particolarmente cara).
L'avevo proposto qui.
Ti consiglio di vedere qui (la definizione di polinomio mi è particolarmente cara).
"Epimenide93":Curiosamente vale anche l'enunciato duale: $nu$ è suriettiva se e solo se $A$ è finito.
Esercizio utile per far pratica con i concetti: sia $A$ un campo. Dimostrare che $nu$ è iniettiva se e solo se $A$ è infinito.
L'avevo proposto qui.
@Epimenide: la tua risposta verrà distribuita tra i miei compagni senza il tuo consenso 
Scherzo ovviamente, è per dire che mi è stata molto utile.
@Martino: grazie anche a te
Se ho capito bene, la risposta alla domanda iniziale è nel il fatto che l'immagine di questa $nu$ è un elemento di A e quindi, come nel tuo esempio, posso dire che $p(x)=x^1+1$ si scompone in A=Z/(2) come $(x+1)(x-1)$, e la funzione associata al polinomio $x^2+1$ in A è zero nel codominio, sebbene il polinomio non $x^2+1$ non coincida con il polinomio $0$.
Scherzo ovviamente, è per dire che mi è stata molto utile. @Martino: grazie anche a te
"Epimenide93":
La storia continua col morfismo ν:A[X]→AA:P↦P che associa ad ogni polinomio ∑i≥0PiXi la funzione P:A→A:a↦∑i≥0Piai.
Se ho capito bene, la risposta alla domanda iniziale è nel il fatto che l'immagine di questa $nu$ è un elemento di A e quindi, come nel tuo esempio, posso dire che $p(x)=x^1+1$ si scompone in A=Z/(2) come $(x+1)(x-1)$, e la funzione associata al polinomio $x^2+1$ in A è zero nel codominio, sebbene il polinomio non $x^2+1$ non coincida con il polinomio $0$.
"jitter":
la risposta alla domanda iniziale è nel il fatto che l'immagine di questa $nu$ è un elemento di A
Quasi, è una funzione $A \to A$, quindi ha valori in $A$. Per il resto direi che ci siamo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo