Il prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi numerabili
Ciao a tutti, volevo chiedere delle delucidazioni circa questa nozione teorica:
Se ho $(E_n)_(ninNN)$ successione di insiemi numerabili, l'unione è sicuramente numerabile, ma quanto al prodotto cartesiano?
Sicuramente il prodotto cartesiano tra due insiemi numerabili è numerabile (è l'idea per dire che $QQ$ è numerabile), ma si può estendere al prodotto cartesiano di $n$ insiemi? Sarei tentato di dire di sì, ma volevo conferme (o smentite) riguardo a ciò.
Grazie mille.
Se ho $(E_n)_(ninNN)$ successione di insiemi numerabili, l'unione è sicuramente numerabile, ma quanto al prodotto cartesiano?
Sicuramente il prodotto cartesiano tra due insiemi numerabili è numerabile (è l'idea per dire che $QQ$ è numerabile), ma si può estendere al prodotto cartesiano di $n$ insiemi? Sarei tentato di dire di sì, ma volevo conferme (o smentite) riguardo a ciò.
Grazie mille.
Risposte
Penso proprio sia giusto ciò che dici, e mi pare ci sia una veloce idea per dimostrarlo, con l'induzione:
noi sappiamo che se $A,B$ sono insiemi numerabili allora il loro prodotto cartesiano $AxB$ è numerabile:
ma allora diventa facile dimostrare che se $C,D,E$ sono insiemi numerabili, il loro prodotto cartesiano $CxDxE$ è numerabile:
infatti io so che $CxDxE=(CxD)xE$ e adesso ho il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili (il primo insieme è infatti $CxD$ che è numerabile perchè sono due soli insiemi) e quindi il prodotto dei tre è numerabile.
da qui è facile passare ad una induzione formale, e siamo a posto!
noi sappiamo che se $A,B$ sono insiemi numerabili allora il loro prodotto cartesiano $AxB$ è numerabile:
ma allora diventa facile dimostrare che se $C,D,E$ sono insiemi numerabili, il loro prodotto cartesiano $CxDxE$ è numerabile:
infatti io so che $CxDxE=(CxD)xE$ e adesso ho il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili (il primo insieme è infatti $CxD$ che è numerabile perchè sono due soli insiemi) e quindi il prodotto dei tre è numerabile.
da qui è facile passare ad una induzione formale, e siamo a posto!
Sì, hai ragione, anche io avevo pensato all'induzione.
Mi aveva fatto venire il dubbio quanto scritto in una angolo da un mio collega (il prodotto cartesiano di insiemi numerabili non è numerabile!): sarà evidentemente una svista!
Grazie
Mi aveva fatto venire il dubbio quanto scritto in una angolo da un mio collega (il prodotto cartesiano di insiemi numerabili non è numerabile!): sarà evidentemente una svista!
Grazie
Dovrei rifletterci meglio, ma a naso direi che la vostra dimostrazione è errata, ragazzi. Avete dimostrato che $\forall n \in NN$, il prodotto $E_1 \times E_2 \times \ldots \times E_n$ è numerabile, bene. Ma perché questo implica che $E_1 \times E_2 \times \ldots \times E_n \times \ldots $ è numerabile? Infatti, l'ultima proposizione mi pare falsa: fate ll prodotto di ${0, 1}$ con sé stesso un'infinità numerabile di volte, e avrete un insieme in corrispondenza biunivoca con tutti i numeri reali tra $0$ e $1$ in notazione binaria.
[EDIT]Ah ecco ho capito tutto. No, avete ragione voi: nel primo post di mistake è specificato "prodotto cartesiano di $n$ insiemi". Il fatto è che se uno legge
"data una famiglia $(E_n)_{n\in NN}$, il suo prodotto cartesiano..."
pensa subito al prodotto di tutti gli elementi della famiglia, e non solo di un numero finito. Sicuramente è a questo che pensava il tuo collega, mistake.
[EDIT]Ah ecco ho capito tutto. No, avete ragione voi: nel primo post di mistake è specificato "prodotto cartesiano di $n$ insiemi". Il fatto è che se uno legge
"data una famiglia $(E_n)_{n\in NN}$, il suo prodotto cartesiano..."
pensa subito al prodotto di tutti gli elementi della famiglia, e non solo di un numero finito. Sicuramente è a questo che pensava il tuo collega, mistake.
dissonance non ho capito molto del tuo intervento, nenache dopo l' EDIT...
potresti spiegare la differenza che c'è tra quello che abbiamo inteso e dimostrato io e mistake89 e quello che hai inteso tu, se ti va?
potresti spiegare la differenza che c'è tra quello che abbiamo inteso e dimostrato io e mistake89 e quello che hai inteso tu, se ti va?
Sì, forse voleva dire che il prodotto cartesiano di una successione (infinita) di insiemi numerabili non è numerabile.
Grazie dissonance
Grazie dissonance
Il prodotto cartesiano non si fa per forza solo tra un numero finito di insiemi. Si può estendere ad una infinità di insiemi anche più che numerabile, così: (quoto me stesso 
- da un post recente della sezione di Algebra)
Questa roba vista così sembra la solita astruseria da matematico snob, e invece è ovunque.
Primo esempio: prendiamo l'insieme [tex]X[/tex] delle successioni di numeri reali. Un tipico elemento di questo insieme è [tex](x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots )[/tex], ovvero più concisamente [tex](x_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex]. Ma allora questo insieme [tex]X[/tex] è proprio quello che si ottiene dalla definizione di sopra con [tex]X_\alpha=\mathbb{R}, J=\mathbb{N}[/tex]! E infatti spesso si scrive [tex]X= \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \ldots[/tex].
Secondo esempio: stavolta prendiamo come [tex]X[/tex] l'insieme delle funzioni [tex][0, 1] \to \mathbb{R}[/tex]. Pure questo si può esprimere come prodotto cartesiano, e si capisce che non cambia tanto rispetto alle successioni: [tex]X_\alpha=\mathbb{R}, J=[0, 1][/tex]. Le funzioni [tex][0, 1]\to \mathbb{R}[/tex] le vediamo come elementi di [tex]\mathbb{R}[/tex] indicizzati dagli elementi di [tex][0, 1][/tex]: invece di scrivere [tex]x \in [0, 1] \mapsto f(x)[/tex], potremmo scrivere [tex](f(x))_{x \in [0, 1]}[/tex] - le due scritture sono perfettamente equivalenti.
_________________________________
La domanda che avevo inteso io dal primo post di mistake è: data una famiglia di insiemi numerabili [tex]\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}[/tex], è vero che il prodotto
[tex]\displaystyle \prod_{n \in \mathbb{N}}X_n=X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n \times \ldots[/tex] [size=75](quando l'insieme degli indici è [tex]\mathbb{N}[/tex], si può scrivere il prodotto cartesiano per esteso, come nel secondo membro di questa equazione)[/size]
è numerabile? E la risposta a questa domanda è no. Ad esempio, prendendo come [tex]X_n=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/tex], gli elementi del prodotto
[tex]X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n \times \ldots[/tex]
sono tutte le successioni di cifre decimali. Immaginiamo di scartare tutte le successioni definitivamente uguali a [tex]9[/tex]. Associando ad ogni successione [tex](x_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] rimasta il numero decimale
[tex]0.x_1 x_2 x_3...[/tex]
si ottiene una corrispondenza biunivoca (è per questo che abbiamo scartato le successioni definitivamente uguali a [tex]9[/tex]) con l'intervallo [tex][0, 1)[/tex]. E perciò, pur avendo fatto un prodotto numerabile di insiemi addirittura finiti, abbiamo ottenuto un insieme [tex]X[/tex] contenente un sottoinsieme più che numerabile: quindi [tex]X[/tex] è esso stesso più che numerabile.
- da un post recente della sezione di Algebra) "dissonance":
Se hai una famiglia [tex]\{ X_{\alpha} \}_{\alpha \in J}[/tex] di insiemi, e [tex]J=\{1, 2, ...n\}[/tex], il loro prodotto cartesiano è l'insieme delle n-uple [tex](x_1, x_2, ..., x_n)[/tex], dove ogni [tex]x_i[/tex] appartiene ad [tex]X_i[/tex]. Se esprimi questa n-upla come [tex](x_\alpha)_{\alpha\in J}[/tex] sei pronto a generalizzare ad un insieme [tex]J[/tex] qualunque:
[tex]\displaymath \Pi_{\alpha \in J} X_{\alpha}=\{x\colon J \to \bigcup_{\alpha \in J} X_{\alpha} \mid x(\alpha)\in X_\alpha \}[/tex]
per definizione; ti accorgi che coincide con quanto scritto sopra se invece di [tex]x(\alpha)[/tex] scrivi [tex]x_\alpha[/tex] e invece di [tex]x \colon J \to \bigcup_{\alpha \in J} X_{\alpha}[/tex] scrivi [tex](x_\alpha)_{\alpha \in J}[/tex].
Questa roba vista così sembra la solita astruseria da matematico snob, e invece è ovunque.
Primo esempio: prendiamo l'insieme [tex]X[/tex] delle successioni di numeri reali. Un tipico elemento di questo insieme è [tex](x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots )[/tex], ovvero più concisamente [tex](x_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex]. Ma allora questo insieme [tex]X[/tex] è proprio quello che si ottiene dalla definizione di sopra con [tex]X_\alpha=\mathbb{R}, J=\mathbb{N}[/tex]! E infatti spesso si scrive [tex]X= \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \ldots[/tex].
Secondo esempio: stavolta prendiamo come [tex]X[/tex] l'insieme delle funzioni [tex][0, 1] \to \mathbb{R}[/tex]. Pure questo si può esprimere come prodotto cartesiano, e si capisce che non cambia tanto rispetto alle successioni: [tex]X_\alpha=\mathbb{R}, J=[0, 1][/tex]. Le funzioni [tex][0, 1]\to \mathbb{R}[/tex] le vediamo come elementi di [tex]\mathbb{R}[/tex] indicizzati dagli elementi di [tex][0, 1][/tex]: invece di scrivere [tex]x \in [0, 1] \mapsto f(x)[/tex], potremmo scrivere [tex](f(x))_{x \in [0, 1]}[/tex] - le due scritture sono perfettamente equivalenti.
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La domanda che avevo inteso io dal primo post di mistake è: data una famiglia di insiemi numerabili [tex]\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}[/tex], è vero che il prodotto
[tex]\displaystyle \prod_{n \in \mathbb{N}}X_n=X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n \times \ldots[/tex] [size=75](quando l'insieme degli indici è [tex]\mathbb{N}[/tex], si può scrivere il prodotto cartesiano per esteso, come nel secondo membro di questa equazione)[/size]
è numerabile? E la risposta a questa domanda è no. Ad esempio, prendendo come [tex]X_n=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/tex], gli elementi del prodotto
[tex]X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n \times \ldots[/tex]
sono tutte le successioni di cifre decimali. Immaginiamo di scartare tutte le successioni definitivamente uguali a [tex]9[/tex]. Associando ad ogni successione [tex](x_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] rimasta il numero decimale
[tex]0.x_1 x_2 x_3...[/tex]
si ottiene una corrispondenza biunivoca (è per questo che abbiamo scartato le successioni definitivamente uguali a [tex]9[/tex]) con l'intervallo [tex][0, 1)[/tex]. E perciò, pur avendo fatto un prodotto numerabile di insiemi addirittura finiti, abbiamo ottenuto un insieme [tex]X[/tex] contenente un sottoinsieme più che numerabile: quindi [tex]X[/tex] è esso stesso più che numerabile.
[mod="dissonance"]Sposto in Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta. Mi sembra una sezione più pertinente.[/mod]
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