Il numero più grande...
Salve a tutti,
Ho scritto un breve articolo nel quale definisco una nuova gerarchia di iperoperatori tali che quello di rango minore, se applicato a una base intera n, per cui n*n>n (ovvero n>=2), origina un numero ben maggiore del numero di Graham.
http://www.scribd.com/doc/77714896/The- ... dei-record
Buona lettura,
Marco
Ho scritto un breve articolo nel quale definisco una nuova gerarchia di iperoperatori tali che quello di rango minore, se applicato a una base intera n, per cui n*n>n (ovvero n>=2), origina un numero ben maggiore del numero di Graham.
http://www.scribd.com/doc/77714896/The- ... dei-record
Buona lettura,
Marco
Risposte
non per essere scortese, ma non ho capito l'utilità.
sul serio, sono ignorante in materia di iperoperazioni. quali applicazioni potrebbe avere questo?
sul serio, sono ignorante in materia di iperoperazioni. quali applicazioni potrebbe avere questo?
Il numero di Graham credo sia un limite superiore... non una soluzione in senso stretto, ma vabbè... è comunque un oggetto "matematico".
Io ho definito sostanzialmente una nuova gerarchia di iperoperatori... se consideriamo quelli classici "bidimensionali" (in quanto puoi agire sia sulla base che sul rango - pari il numero di frecce verticali più 2), i miei si collocano in un universo (quantomeno) 3D.
Ad esempio, possiamo porre un quantitativo di frecce così definito: k(k(k(k(...k_G£)))) - dove G£ è il pedice dell'ultimo "k" - e considerare una numerosità totale di k pari a G£ (vale a dire che k appare G£ volte nella formula). Avremo in questo modo un iperoperatore che ha super-rango G£-1 in una scala in cui il super-iperoperatore definito nell'articolo ha rango 1 (consideriamo di rango zero quello in cui ci sono k_1 frecce). In pratica l'iperoperatore (anzi la classe di iperoperatori - visto che ingloba anche quelli con k_2, k_3, ecc... frecce) di rango "zero" è ancorato al vecchio universo 2D, mentre quello di rango 1 gode di un ulteriore grado di libertà.
Utilità pratica? E' un tipico caso di "matematica pura"... di grandezze fisiche o problemi concreti che si muovono su questo ordine di grandezza non ne vedo
Io ho definito sostanzialmente una nuova gerarchia di iperoperatori... se consideriamo quelli classici "bidimensionali" (in quanto puoi agire sia sulla base che sul rango - pari il numero di frecce verticali più 2), i miei si collocano in un universo (quantomeno) 3D.
Ad esempio, possiamo porre un quantitativo di frecce così definito: k(k(k(k(...k_G£)))) - dove G£ è il pedice dell'ultimo "k" - e considerare una numerosità totale di k pari a G£ (vale a dire che k appare G£ volte nella formula). Avremo in questo modo un iperoperatore che ha super-rango G£-1 in una scala in cui il super-iperoperatore definito nell'articolo ha rango 1 (consideriamo di rango zero quello in cui ci sono k_1 frecce). In pratica l'iperoperatore (anzi la classe di iperoperatori - visto che ingloba anche quelli con k_2, k_3, ecc... frecce) di rango "zero" è ancorato al vecchio universo 2D, mentre quello di rango 1 gode di un ulteriore grado di libertà.
Utilità pratica? E' un tipico caso di "matematica pura"... di grandezze fisiche o problemi concreti che si muovono su questo ordine di grandezza non ne vedo
credo tu abbia frainteso il (mio) concetto di utilità: non ho mai parlato di problemi fisici.
per esempio, potresti trovare una classe di numeri che sia "più comodo" scrivere con la tua notazione?
chiaramente qualcosa che non sia già nella forma \(n\uparrow^{(k_{k_1})}n\)
esempi di possibili risposte che considererei "utili":
- il numero \(2\uparrow^{(k_{k_1})}2\) è esattamente il numero di alberi in un grafo fatto così e cosà...
- il numero \(n\uparrow^{(k_{k_1})}n\) ci dice quante sono le soluzioni all'equazione differenziale fatta così e cosà...
- il numero \(3\uparrow^{(k_{k_1})}3\) approssima per difetto gli anni di rita levi montalcini... (senza offesa)
per esempio, potresti trovare una classe di numeri che sia "più comodo" scrivere con la tua notazione?
chiaramente qualcosa che non sia già nella forma \(n\uparrow^{(k_{k_1})}n\)
esempi di possibili risposte che considererei "utili":
- il numero \(2\uparrow^{(k_{k_1})}2\) è esattamente il numero di alberi in un grafo fatto così e cosà...
- il numero \(n\uparrow^{(k_{k_1})}n\) ci dice quante sono le soluzioni all'equazione differenziale fatta così e cosà...
- il numero \(3\uparrow^{(k_{k_1})}3\) approssima per difetto gli anni di rita levi montalcini... (senza offesa)
Salve marcokrt,
visto che lo vedi come un articolo, potevi scriverlo almeno in latex. Con la formattazione da te utilizzata nell'articolo ho problemi a leggerlo
Cordiali saluti
"marcokrt":
Salve a tutti,
Ho scritto un breve articolo nel quale definisco una nuova gerarchia di iperoperatori tali che quello di rango minore, se applicato a una base intera n, per cui n*n>n (ovvero n>=2), origina un numero ben maggiore del numero di Graham.
http://www.scribd.com/doc/77714896/The- ... dei-record
Buona lettura,
Marco
visto che lo vedi come un articolo, potevi scriverlo almeno in latex. Con la formattazione da te utilizzata nell'articolo ho problemi a leggerlo
Cordiali saluti
Queste cose risultano abbastanza noiose e non particolarmente seguite dai matematici.
Date due funzioni \(\displaystyle f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) e \(\displaystyle g\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) posso certamente sempre creare le funzioni \(\displaystyle fg\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) definita come \(\displaystyle n\mapsto f(g(n)) \) e \(\displaystyle gf\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) definita come \(\displaystyle n\mapsto g(f(n)) \). Ed esistono anche \(\displaystyle fgf \), \(\displaystyle gfg \), \(\displaystyle ffffff...fff \) (ripetuto \(\displaystyle g(n) \) volte) e varie altre combinazioni più esotiche.
Lo stesso ovviamente vale anche per le operazioni binarie. Date due operazioni \(\displaystyle \diamond \colon \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) e \(\displaystyle \bullet \colon \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) puoi definire le operazioni \(\displaystyle m\times n \mapsto m\bullet (m\diamond n)\), \(\displaystyle m\times n \mapsto n \bullet (m\diamond n)\), \(\displaystyle m\times n \mapsto (m\diamond n) \bullet (n\diamond m)\), \(\displaystyle m\times n \mapsto (m\diamond m) \bullet (n\diamond n)\) e molte altre.
E così via con operazioni \(\displaystyle n \)-arie. Ed è certamente possibile 'unire' operazioni di arietà diversa. Non è difficile creare operazioni tali che \(\displaystyle 1\diamond 1 \ge N \) per un \(\displaystyle N \) arbitrariamente grande. L'interesse su una particolare operazione nasce quando questa operazione è utile per spiegare oggetti matematici più interessanti e misteriosi.
Date due funzioni \(\displaystyle f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) e \(\displaystyle g\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) posso certamente sempre creare le funzioni \(\displaystyle fg\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) definita come \(\displaystyle n\mapsto f(g(n)) \) e \(\displaystyle gf\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) definita come \(\displaystyle n\mapsto g(f(n)) \). Ed esistono anche \(\displaystyle fgf \), \(\displaystyle gfg \), \(\displaystyle ffffff...fff \) (ripetuto \(\displaystyle g(n) \) volte) e varie altre combinazioni più esotiche.
Lo stesso ovviamente vale anche per le operazioni binarie. Date due operazioni \(\displaystyle \diamond \colon \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) e \(\displaystyle \bullet \colon \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) puoi definire le operazioni \(\displaystyle m\times n \mapsto m\bullet (m\diamond n)\), \(\displaystyle m\times n \mapsto n \bullet (m\diamond n)\), \(\displaystyle m\times n \mapsto (m\diamond n) \bullet (n\diamond m)\), \(\displaystyle m\times n \mapsto (m\diamond m) \bullet (n\diamond n)\) e molte altre.
E così via con operazioni \(\displaystyle n \)-arie. Ed è certamente possibile 'unire' operazioni di arietà diversa. Non è difficile creare operazioni tali che \(\displaystyle 1\diamond 1 \ge N \) per un \(\displaystyle N \) arbitrariamente grande. L'interesse su una particolare operazione nasce quando questa operazione è utile per spiegare oggetti matematici più interessanti e misteriosi.
Ciao di nuovo.
Ho scritto l'articolo di getto (in 5-6 ore circa) e ho utilizzato lo stesso format del libro dal quale proviene la prima parte (con leggerissime modifiche). A ciò è dovuta anche l'impostazione iniziale (parto dai superfattoriali e non è che sia propriamente la strategia più efficiente per generare grandi numeri). La particolarità rispetto al libro è il confronto con G, mi interessava trovare un operatore fatto in modo che, per il minimo intero tale che n^n>n, l'output superasse G.
La parte prettamente "matematica" è quella sull'estensione degli iperoperatori, inserendovi k(k_i), alla nuova dimensione. Sarebbe astrattamente possibile arrivare a G£+2 dimensioni replicando lo stesso procedimento, con soltanto lievi modifiche. Si potrebbero anche creare convenzioni a tal fine, come ad esempio porre in sequenza (case sensibili) i numeri (vettori) che ne identificano univocamente le coordinate unidimensionali, magari separati da un segno caratteristico. Chiaramente sarebbe un processo totalmente inutile e privo di senso e quindi eviterò di farlo.
Dovendo vederlo come "paper", sarebbe giustamente opportuno tradurlo in inglese e in LaTeX, inserire un abstract, correggere la parte iniziale per adattarlo all'impostazione della seconda parte, ecc. Infatti, la prima parte mira a far comprendere al lettore le grandezze con le quali si ha a che fare (per quello l'uso del fattoriale anziché, ad esempio, hyper-Megistone). Allo stato attuale direi che non ne vale la pena e non ho nemmeno il tempo necessario per fare un buon lavoro in tal senso.
Applicazioni matematiche... In astratto, qualcosa credo ci possa essere. Non sono abbastanza ferrato in matematica d'avanguardia, ma, se G è stato usato per trovare l'upper limit di un problema la cui soluzione pare essere nell'ordine di poche unità (mi pare di aver letto 13 o qualcosa di simile), non vedo perchè [tex]\ n\uparrow^{(k_{k_1})}n\[/tex] non possa facilitare il lavoro a qualche ricercatore che tenta di limitare superiormente un oggetto sfuggevole. Il fatto di avere (almeno) un parametro in più, potrebbe far parecchio comodo in tal senso... è un po' come avere un adattatore universale (a 3 uscite) anziché una presa convenzionale
Ecco, al momento vedrei questo elemento come il principale appiglio tra [tex]\ n\uparrow^{(k_{k_{k_{k_i}}})}n\[/tex] e il mondo senziente
Ho scritto l'articolo di getto (in 5-6 ore circa) e ho utilizzato lo stesso format del libro dal quale proviene la prima parte (con leggerissime modifiche). A ciò è dovuta anche l'impostazione iniziale (parto dai superfattoriali e non è che sia propriamente la strategia più efficiente per generare grandi numeri). La particolarità rispetto al libro è il confronto con G, mi interessava trovare un operatore fatto in modo che, per il minimo intero tale che n^n>n, l'output superasse G.
La parte prettamente "matematica" è quella sull'estensione degli iperoperatori, inserendovi k(k_i), alla nuova dimensione. Sarebbe astrattamente possibile arrivare a G£+2 dimensioni replicando lo stesso procedimento, con soltanto lievi modifiche. Si potrebbero anche creare convenzioni a tal fine, come ad esempio porre in sequenza (case sensibili) i numeri (vettori) che ne identificano univocamente le coordinate unidimensionali, magari separati da un segno caratteristico. Chiaramente sarebbe un processo totalmente inutile e privo di senso e quindi eviterò di farlo.
Dovendo vederlo come "paper", sarebbe giustamente opportuno tradurlo in inglese e in LaTeX, inserire un abstract, correggere la parte iniziale per adattarlo all'impostazione della seconda parte, ecc. Infatti, la prima parte mira a far comprendere al lettore le grandezze con le quali si ha a che fare (per quello l'uso del fattoriale anziché, ad esempio, hyper-Megistone). Allo stato attuale direi che non ne vale la pena e non ho nemmeno il tempo necessario per fare un buon lavoro in tal senso.
Applicazioni matematiche... In astratto, qualcosa credo ci possa essere. Non sono abbastanza ferrato in matematica d'avanguardia, ma, se G è stato usato per trovare l'upper limit di un problema la cui soluzione pare essere nell'ordine di poche unità (mi pare di aver letto 13 o qualcosa di simile), non vedo perchè [tex]\ n\uparrow^{(k_{k_1})}n\[/tex] non possa facilitare il lavoro a qualche ricercatore che tenta di limitare superiormente un oggetto sfuggevole. Il fatto di avere (almeno) un parametro in più, potrebbe far parecchio comodo in tal senso... è un po' come avere un adattatore universale (a 3 uscite) anziché una presa convenzionale
Ecco, al momento vedrei questo elemento come il principale appiglio tra [tex]\ n\uparrow^{(k_{k_{k_{k_i}}})}n\[/tex] e il mondo senziente
"vict85":
Queste cose risultano abbastanza noiose e non particolarmente seguite dai matematici.
Date due funzioni \(\displaystyle f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) e \(\displaystyle g\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) posso certamente sempre creare le funzioni \(\displaystyle fg\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) definita come \(\displaystyle n\mapsto f(g(n)) \) e \(\displaystyle gf\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) definita come \(\displaystyle n\mapsto g(f(n)) \). Ed esistono anche \(\displaystyle fgf \), \(\displaystyle gfg \), \(\displaystyle ffffff...fff \) (ripetuto \(\displaystyle g(n) \) volte) e varie altre combinazioni più esotiche.
Lo stesso ovviamente vale anche per le operazioni binarie. Date due operazioni \(\displaystyle \diamond \colon \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) e \(\displaystyle \bullet \colon \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) puoi definire le operazioni \(\displaystyle m\times n \mapsto m\bullet (m\diamond n)\), \(\displaystyle m\times n \mapsto n \bullet (m\diamond n)\), \(\displaystyle m\times n \mapsto (m\diamond n) \bullet (n\diamond m)\), \(\displaystyle m\times n \mapsto (m\diamond m) \bullet (n\diamond n)\) e molte altre.
E così via con operazioni \(\displaystyle n \)-arie. Ed è certamente possibile 'unire' operazioni di arietà diversa. Non è difficile creare operazioni tali che \(\displaystyle 1\diamond 1 \ge N \) per un \(\displaystyle N \) arbitrariamente grande. L'interesse su una particolare operazione nasce quando questa operazione è utile per spiegare oggetti matematici più interessanti e misteriosi.
Ho capito. Direi che il senso di quello che ho fatto potrebbe ridursi a creare una "scatola" in 3D, possibilmente cubica, (con 4 parametri sui quali agire di cui uno "parziale"), avente lato abbastanza esteso. Una volta che si effettua una riassegnazione e si nomina sinteticamente la scatola (poniamo "BOX_G£"), abbiamo un numero enorme esprimibile con 6 battute di tastiera e che può essere evocato all'occorrenza per scopi verosimilmente limitatissimi (per non dire "pressoché inesistenti"). Alla fine (correggimi se sbaglio - possibilissimo), se andiamo a costruire un inviluppo continuo di "funzioni di riassegnazione" a mo' di matrioske, siamo comunque costretti a specificarne il numero e i limiti, al fine di avere un "numero" con il quale trattare. Cioè, anche con n^2 tendiamo a infinito... solo che, per lo scopo di gestire grandi numeri, ci serve a poco.
"marcokrt":
Ho capito. Direi che il senso di quello che ho fatto potrebbe ridursi a creare una "scatola" in 3D, possibilmente cubica, (con 4 parametri sui quali agire di cui uno "parziale"), avente lato abbastanza esteso. Una volta che si effettua una riassegnazione e si nomina sinteticamente la scatola (poniamo "BOX_G£"), abbiamo un numero enorme esprimibile con 6 battute di tastiera e che può essere evocato all'occorrenza per scopi verosimilmente limitatissimi (per non dire "pressoché inesistenti"). Alla fine (correggimi se sbaglio - possibilissimo), se andiamo a costruire un inviluppo continuo di "funzioni di riassegnazione" a mo' di matrioske, siamo comunque costretti a specificarne il numero e i limiti, al fine di avere un "numero" con il quale trattare. Cioè, anche con n^2 tendiamo a infinito... solo che, per lo scopo di gestire grandi numeri, ci serve a poco.
Ho solo cercato di spiegare come comporre funzioni sia una operazione piuttosto banale. La tua operazione di fatto consiste nella composizione di varie funzioni. Anche se alcune sono un po' più difficili da esprimere di altre.
Tu hai semplicemente definito una funzione a 4 parametri. Tra l'altro non proprio di facilissima lettura. Penso che quella particolare notazione del numero di Graham sia nata con la dimostrazione.
"marcokrt":Non so se ho capito bene - non ho letto l'articolo - ma mi sembra di capire che il problema di trovare numeri grandi non riguardi tanto la matematica puramente astratta quanto piuttosto quella applicata (ma prendi quello che dico con le molle). Se danno a un matematico puro una funzione [tex]f(n)[/tex] che genera numeri "grandi" quello può generarne altre che producono numeri "molto (più) grandi", per esempio [tex]g(n) = f^{f(n)}(n)[/tex], la funzione ottenuta iterando la [tex]f[/tex] [tex]f(n)[/tex] volte. Ma quanto è utile questa osservazione?
Salve a tutti,
Ho scritto un breve articolo nel quale definisco una nuova gerarchia di iperoperatori tali che quello di rango minore, se applicato a una base intera n, per cui n*n>n (ovvero n>=2), origina un numero ben maggiore del numero di Graham.
http://www.scribd.com/doc/77714896/The- ... dei-record
Uno dei pochi momenti in cui ho capito lo spirito della matematica applicata (vorrei capirla di più) è stato seguendo un corso di algebra lineare applicata del professor Wimmer, quando ha detto (parafraso) "un matematico puro sa fare i determinanti (gli basta scrivere [tex]\det(A)[/tex]), ma un matematico applicato fa molta più fatica".
In altre parole: stiamo parlando di complessità algoritmica?
Perché in tal caso conviene spostare in analisi numerica.
"Martino":Non so se ho capito bene - non ho letto l'articolo - ma mi sembra di capire che il problema di trovare numeri grandi non riguardi tanto la matematica puramente astratta quanto piuttosto quella applicata (ma prendi quello che dico con le molle). Se danno a un matematico puro una funzione [tex]f(n)[/tex] che genera numeri "grandi" quello può generarne altre che producono numeri "molto (più) grandi", per esempio [tex]g(n) = f^{f(n)}(n)[/tex], la funzione ottenuta iterando la [tex]f[/tex] [tex]f(n)[/tex] volte. Ma quanto è utile questa osservazione?
[quote="marcokrt"]Salve a tutti,
Ho scritto un breve articolo nel quale definisco una nuova gerarchia di iperoperatori tali che quello di rango minore, se applicato a una base intera n, per cui n*n>n (ovvero n>=2), origina un numero ben maggiore del numero di Graham.
http://www.scribd.com/doc/77714896/The- ... dei-record
Uno dei pochi momenti in cui ho capito lo spirito della matematica applicata (vorrei capirla di più) è stato seguendo un corso di algebra lineare applicata del professor Wimmer, quando ha detto (parafraso) "un matematico puro sa fare i determinanti (gli basta scrivere [tex]\det(A)[/tex]), ma un matematico applicato fa molta più fatica".
In altre parole: stiamo parlando di complessità algoritmica?
Perché in tal caso conviene spostare in analisi numerica.[/quote]
Guardando un po' in giro, ho trovato che la mia idea di estendere a più dimensioni/parametri gli iperoperatori creati, è stata già sondata da un certo Conway:
http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/big.htm
La sua idea mi piace molto, ma ciò comporta IMHO due "contro": una scarsissima precisione nella traduzione in "chained arrow notation" del numero da indicare e soprattutto un forte allontamento del fruitore dal concetto di iperoperatore. In pratica, scrivendo una sequenza di k frecce orizzontali e k+1 interi, abbiamo che il primo termine corrisponde alla base e gli altri vanno a formare l'iperesponente... insomma, la convenzione (seppur mascherata) pare essere un male necessario. Corrisponde a ciò che avevo in mente di fare io e quindi non posso che apprezzare la soluzione proposta da Conway. Mi permetto tuttavia di dire la mia circa la cesura tra i 4 parametri (indicati da me) e i t>4 parametri. In quest'ultimo caso, il concetto intrinseco di iperoperatore viene bypassato dalla nuova struttura indicata.
@i mods: io sto sostanzialmente parlando di linguaggio e di come definire classi di funzioni, ora credo che il dibattito si sposterà sulle varie "notations" contenute nell'articolo che ho linkato. Non saprei bene dove collocare tale argomento XD
In sostanza, direi che il modo più limpido, efficiente e diretto di esprimere il numero più grande possibile è il seguente:
Convenzione: usare la "chained arrow notation" di Conway, nella quale l'unico parametro indica simultaneamente: il quantitativo di tutti i numeri intervallati da frecce accresciuto di un'unità (e quindi il quantitativo di frecce è pari al al valore dell'unico parametro) e il valore dei numeri stessi (tutti uguali tra loro).
Indichiamo ad esempio il numero che vogliamo esprimere (in questo caso G) come CON_G, avremo una sequenza di G frecce orizzontali, che intervallano G+1 numeri "G".
Ovviamente, la precisione (e la frequenza relativa degli interi esprimibili tramite tale procedimento) è scarsissima.
Convenzione: usare la "chained arrow notation" di Conway, nella quale l'unico parametro indica simultaneamente: il quantitativo di tutti i numeri intervallati da frecce accresciuto di un'unità (e quindi il quantitativo di frecce è pari al al valore dell'unico parametro) e il valore dei numeri stessi (tutti uguali tra loro).
Indichiamo ad esempio il numero che vogliamo esprimere (in questo caso G) come CON_G, avremo una sequenza di G frecce orizzontali, che intervallano G+1 numeri "G".
Ovviamente, la precisione (e la frequenza relativa degli interi esprimibili tramite tale procedimento) è scarsissima.
Ho editato l'articolo (completandolo). Nel finale (osservazione 3) uso un ragionamento "logico-filosofico" per spiegare cosa rappresenta il numero individuato... adesso, tecnicamente, è un "upper limit" anche lui (dal numero di gluoni di un universo grande quanto la Biblioteca di Babele di Borges a quello delle imprese di Chuck Norris)
"marcokrt":
Ho editato l'articolo (completandolo). Nel finale (osservazione 3) uso un ragionamento "logico-filosofico" per spiegare cosa rappresenta il numero individuato... adesso, tecnicamente, è un "upper limit" anche lui (dal numero di gluoni di un universo grande quanto la Biblioteca di Babele di Borges a quello delle imprese di Chuck Norris)
ah, credevo fosse un articolo serio
Per definire un "upper bound" inattaccabile, bisogna sempre tenere conto di Chuck Norris... ad esempio, nel metodo Monte Carlo che ho applicato, tenevo anche conto del fatto che ogni pelo della barba di Chuck Norris ha a sua volta la barba!
BOX_M ha la caratteristica di inglobare un insieme di operatori combinati (superfattoriali, iperoperatori, iperoperatori definiti in Knuth's notation e iperesponenti espressi in "chained arrow notation")... al momento è la definizione più larga di "naturale specificato" che c'è e limita superiormente qualsiasi espressione finita della "Wainer hierarchy", la quale a sua volta domina la funzione di Goodstein.
In pratica, ad oggi, la soluzione di qualsiasi problema in ambito "combinatorics" o "computational sciences" deve ricadere nell'intervallo [0, BOX_M]. L'unico problema che non ha soluzione in esso è "il più grande numero (finito e senza sviluppi esterni alla sua stessa essenza)" definito tramite legge ricorsiva.
BOX_M ha la caratteristica di inglobare un insieme di operatori combinati (superfattoriali, iperoperatori, iperoperatori definiti in Knuth's notation e iperesponenti espressi in "chained arrow notation")... al momento è la definizione più larga di "naturale specificato" che c'è e limita superiormente qualsiasi espressione finita della "Wainer hierarchy", la quale a sua volta domina la funzione di Goodstein.
In pratica, ad oggi, la soluzione di qualsiasi problema in ambito "combinatorics" o "computational sciences" deve ricadere nell'intervallo [0, BOX_M]. L'unico problema che non ha soluzione in esso è "il più grande numero (finito e senza sviluppi esterni alla sua stessa essenza)" definito tramite legge ricorsiva.
questa cosa sta diventando ridicola ed umiliante. sicuramente è inappropriata per una sezione universitaria.
@marcokrt:
Ma che vuol dire "il numero più grande possibile"?
Sei cosciente del fatto che \(\mathbb{N}\) non è limitato superiormente, vero? Sicché se \(N\) è il tuo numero, il mio \(N+1\) è "più grande" del tuo...
Ad ogni modo, se il problema è puramente notazionale non è molto interessante per me... Ma, devo ammetterlo, non mi interesserebbe molto nemmeno se fosse un problema di altra natura.
"marcokrt":
In sostanza, direi che il modo più limpido, efficiente e diretto di esprimere il numero più grande possibile è il seguente [...]
Ma che vuol dire "il numero più grande possibile"?
Sei cosciente del fatto che \(\mathbb{N}\) non è limitato superiormente, vero? Sicché se \(N\) è il tuo numero, il mio \(N+1\) è "più grande" del tuo...
Ad ogni modo, se il problema è puramente notazionale non è molto interessante per me... Ma, devo ammetterlo, non mi interesserebbe molto nemmeno se fosse un problema di altra natura.
"albertobosia":
questa cosa sta diventando ridicola ed umiliante. sicuramente è inappropriata per una sezione universitaria.
Quasi 10 anni fa, il prof di analisi I, il primo giorno di università, pronunciò una frase che mi colpì... per illustrare la cardinalità dei naturali (e il fatto che N è equipotente a non mi ricordo quale suo sottinsieme portato come esempio - forse i cubi perfetti -), disse che anche la sua nipotina delle elementari, quando le proponeva il gioco "scommetti che trovo un numero più grande di quello che scegli?" non ci cascava più. Dopo tutto questo tempo, mi sono divertito a rimettere in discussione un concetto banalissimo che avrei mai pensato potessi trovare interessante... ecco, io un senso in tutta quella catena di sostituzioni ora ce lo vedo. Riesco a seguire passaggio per passaggio le nuove grandezze che si vanno a formare, collocandole nella giusta posizione della graduatoria dei grandi numeri... di numeri in ambito "combinatorics" o scienze computazionali ben più grandi di G ce ne sono a bizzeffe, non so nemmeno bene cosa rappresentano. Ciò che trovo interessante è l'implicazione "metafisica" di BOX_M (come upper bound del concetto stesso di numero naturale che l'uomo usa/immagina/gestisce nel mondo fenomenico). Non pretendo certo che gli altri colgano questa sfumatura... io stesso, fino a pochissimi mesi fa, avrei riso a queste parole. IMHO il trucco sta nell'accantonare un attimo ciò che abbiamo imparato e provare a "visualizzare" tramite un processo di astrazione, effettuato con l'immaginazione, le grandezze trattate. Non utilizzando, insomma, il principio di iterazione o l'assioma della scelta (dico così per dire in tono scherzoso).
Per farla breve, riesco a vedere in quel numero (al quale ho dato un nome) un upper bound a tutti gli effetti... magari domani non lo sarà più, ma oggi lo è. BOX_M coincide altresì con l'idea che io ho di "numero naturale"; essa non corrisponde alla cardinalità dell'insieme o a un limite che diverge... nella mia testa restano due concetti separati da una cesura incolmabile.
Magari il più piccolo numero primo che non è sulla retta Re(s)=1/2 è il (BOX_M+3)-esimo, ma non questo il punto che mi interessava approfondire con quelle 5 paginette
"gugo82":
@marcokrt:
[quote="marcokrt"]In sostanza, direi che il modo più limpido, efficiente e diretto di esprimere il numero più grande possibile è il seguente [...]
Ma che vuol dire "il numero più grande possibile"?
Sei cosciente del fatto che \(\mathbb{N}\) non è limitato superiormente, vero? Sicché se \(N\) è il tuo numero, il mio \(N+1\) è "più grande" del tuo...
Ad ogni modo, se il problema è puramente notazionale non è molto interessante per me... Ma, devo ammetterlo, non mi interesserebbe molto nemmeno se fosse un problema di altra natura.[/quote]
Trovi la risposta nel post che precede questo
Comunque il punto non è che io posso batterti scegliendo N+1+epsilon (piccolo a piacere), il punto è che BOX_M ha sia un senso a livello quantitativo (più filosofico che matematico), sia è utile per stime astratte (di vario tipo).
Poi, non so se l'hai notato, ma tu per definire un numero più grande del mio hai usato il mio numero (quindi un senso glielo hai dato). Usando il mio numero hai dato un senso anche alla notazione di Conway, a quella di Knuth, al numero di Graham, al superfattoriale, ecc...
Avendo già scelto io il numero più grande tale che, verosimilmente, contenga tutte le soluzioni intere positive a qualsiasi problema "umano", eccettuato il problema onanistico di definire un numero più grande del mio, ho vinto io
visto che la tua funzione è computabile, esiste una funzione che "va più veloce" della tua.
http://it.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver
risparmio ulteriori commenti relativi ai tuoi ultimi due post, ma sarei grato al gentile moderatore che volesse porre fine a questo scempio.
EDIT:
[OT] nella presentazione dici che hai pubblicato un libro. sono andato a cercare informazioni.
http://www.uni-service.it/marco-ripa.html
innanzitutto, chiunque può contribuire ad oeis, quindi tutto sommato non è granché come vanto.
in secondo luogo, sono curioso/ansioso di sapere quali problemi aperti concernenti alla teoria dei numeri hai risolto.
infine (ma questa è solo una considerazione personale) mi chiedo cosa tu abbia scritto in un libro di 91 pagine, viste le palesi lacune che già solo in questo thread sei riuscito ad esternare. e no, non ho intenzione di comprarlo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver
risparmio ulteriori commenti relativi ai tuoi ultimi due post, ma sarei grato al gentile moderatore che volesse porre fine a questo scempio.
EDIT:
[OT] nella presentazione dici che hai pubblicato un libro. sono andato a cercare informazioni.
http://www.uni-service.it/marco-ripa.html
Solutore di alcuni problemi aperti concernenti la teoria dei numeri e autore di varie sequenze intere inserite nella “On-Line Encyclopedia of Integer Sequences”.
innanzitutto, chiunque può contribuire ad oeis, quindi tutto sommato non è granché come vanto.
in secondo luogo, sono curioso/ansioso di sapere quali problemi aperti concernenti alla teoria dei numeri hai risolto.
infine (ma questa è solo una considerazione personale) mi chiedo cosa tu abbia scritto in un libro di 91 pagine, viste le palesi lacune che già solo in questo thread sei riuscito ad esternare. e no, non ho intenzione di comprarlo.
"marcokrt":
[quote="gugo82"]@marcokrt:
[quote="marcokrt"]In sostanza, direi che il modo più limpido, efficiente e diretto di esprimere il numero più grande possibile è il seguente [...]
Ma che vuol dire "il numero più grande possibile"?
Sei cosciente del fatto che \(\mathbb{N}\) non è limitato superiormente, vero? Sicché se \(N\) è il tuo numero, il mio \(N+1\) è "più grande" del tuo...[/quote]
Trovi la risposta nel post che precede questo
[/quote]Sinceramente fatico a trovare qualche barlume di risposta qui dentro:
"marcokrt":
Quasi 10 anni fa, il prof di analisi I, il primo giorno di università, pronunciò una frase che mi colpì... per illustrare la cardinalità dei naturali (e il fatto che N è equipotente a non mi ricordo quale suo sottinsieme portato come esempio - forse i cubi perfetti -), disse che anche la sua nipotina delle elementari, quando le proponeva il gioco "scommetti che trovo un numero più grande di quello che scegli?" non ci cascava più. Dopo tutto questo tempo, mi sono divertito a rimettere in discussione un concetto banalissimo che avrei mai pensato potessi trovare interessante... ecco, io un senso in tutta quella catena di sostituzioni ora ce lo vedo. Riesco a seguire passaggio per passaggio le nuove grandezze che si vanno a formare, collocandole nella giusta posizione della graduatoria dei grandi numeri... di numeri in ambito "combinatorics" o scienze computazionali ben più grandi di G ce ne sono a bizzeffe, non so nemmeno bene cosa rappresentano. Ciò che trovo interessante è l'implicazione "metafisica" di BOX_M (come upper bound del concetto stesso di numero naturale che l'uomo usa/immagina/gestisce nel mondo fenomenico). Non pretendo certo che gli altri colgano questa sfumatura... [...]
Per farla breve, riesco a vedere in quel numero (al quale ho dato un nome) un upper bound a tutti gli effetti... magari domani non lo sarà più, ma oggi lo è. BOX_M coincide altresì con l'idea che io ho di "numero naturale"; essa non corrisponde alla cardinalità dell'insieme o a un limite che diverge... nella mia testa restano due concetti separati da una cesura incolmabile.
Il che mi porta a chiederti: sai almeno cos'è un upper bound? Ed un insieme non limitato?
Perché dal discorso che porti avanti non si direbbe...
Inoltre, per quanto mi riguarda, le considerazioni pseudofilosofiche inserite in un discorso matematico sono solo l'indice che chi scrive non ha argomenti tecnici validi. Quindi ti consiglio di eliminarle del tutto.
Per rispondere alle rimanenti considerazioni sparse...
"gugo82":
Ma che vuol dire "il numero più grande possibile"?
Sei cosciente del fatto che \(\mathbb{N}\) non è limitato superiormente, vero? Sicché se \(N\) è il tuo numero, il mio \(N+1\) è "più grande" del tuo...
Ad ogni modo, se il problema è puramente notazionale non è molto interessante per me... Ma, devo ammetterlo, non mi interesserebbe molto nemmeno se fosse un problema di altra natura.
"marcokrt":
Poi, non so se l'hai notato, ma tu per definire un numero più grande del mio hai usato il mio numero (quindi un senso glielo hai dato). Usando il mio numero hai dato un senso anche alla notazione di Conway, a quella di Knuth, al numero di Graham, al superfattoriale, ecc...
Avendo già scelto io il numero più grande tale che, verosimilmente, contenga tutte le soluzioni intere positive a qualsiasi problema "umano", eccettuato il problema onanistico di definire un numero più grande del mio, ho vinto io
L'ultimo periodo contiene un'emerita cazzata, cui non vale nemmeno la pena rispondere con un ovvio controesempio.
Ma il problema è sempre quello: usi un superlativo relativo perché stenti a capire il concetto di upper bound e di insieme non limitato.
A parte ciò, qui non si tratta di "dare senso" alla tua notazione, o a quella di Knuth, di Conway, etc.: infatti una notazione è una notazione, una volta spiegata con una definizione ha senso e basta (per questo dicevo che per me, in quanto formalista, il problema notazionale non ha un gran senso); se è una notazione comoda è meglio, se è utile per spiegare un problema in due pagine anziché in venti è buona, ma nessuna notazione è perfetta.
Più che altro, si tratta di farti capire che "il numero (naturale) più grande" è un concetto privo di senso... A meno che tu non sia un finitista (il che mi pare inconciliabile con la Matematica in toto, ad ogni modo).
Una curiosità: leggo nel curriculum online che hai studiato Fisica e Astronomia; ti sei laureato o hai mollato per Economia?
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