Il coefficiente binomiale è un numero naturale
Salve a tutti. Questa è la mia prima domanda su questo forum.
Nel libro Analysis I di Hamann ed Escher, in un esercizio viene introdotto il coefficiente binomiale prima di spiegarne il significato combinatorio e il suo ruolo come coefficiente nello sviluppo della potenza di un binomio. Il primo passo consiste nel dimostrare che, per \( m \) e \( n \) naturali con \( m \leq n \),
\( m! \cdot (n-m)! \) divide \( n! \).
Il libro suggerisce di usare il fatto che \( (n+1)! = n! \cdot (n+1-m) + n! \cdot m \).
La mia difficoltà sta nel dimostrare, utilizzando l'induzione su \( n \), che
\( m! \cdot (n+1-m)! \) divide \( (n+1)! \).
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Nel libro Analysis I di Hamann ed Escher, in un esercizio viene introdotto il coefficiente binomiale prima di spiegarne il significato combinatorio e il suo ruolo come coefficiente nello sviluppo della potenza di un binomio. Il primo passo consiste nel dimostrare che, per \( m \) e \( n \) naturali con \( m \leq n \),
\( m! \cdot (n-m)! \) divide \( n! \).
Il libro suggerisce di usare il fatto che \( (n+1)! = n! \cdot (n+1-m) + n! \cdot m \).
La mia difficoltà sta nel dimostrare, utilizzando l'induzione su \( n \), che
\( m! \cdot (n+1-m)! \) divide \( (n+1)! \).
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
Lo statement da dimostrare per induzione è: sia $n$ un numero naturale. Allora per ogni $m\le n$ si ha che $m!(n-m)!$ divide $n!$.
Per $n=1$ è ovvio. Supponi sia vero per $n$ e guarda $n+1$. Devi dimostrare che $m!(n+1-m)!$ divide $(n+1)!$ per ogni $m\le n+1$. Se $m=n+1$ o $m=0$, lo statement è ovvio. Dunque puoi supporre $1\le m\le n$. Come suggerisce il libro, $(n+1)! =n!(n+1-m)+n!\cdot m$. Per ipotesi induttiva, siccome $m\le n$, $m!(n-m)!$ divide $n!$. Ma allora ovviamente $m!(n+1-m)! =m!(n-m)!(n+1-m)$ divide $n!(n+1-m)$. Rimane da dimostrare che $m!(n+1-m)!$ divide $n!\cdot m$. Ma $m!(n+1-m)! =m\cdot (m-1)!(n+1-m)!$, e per ipotesi induttiva essendo $m\le n$ si ha che $(m-1)!(n+1-m)!$ divide $n!$. Il claim segue immediatamente.
Per $n=1$ è ovvio. Supponi sia vero per $n$ e guarda $n+1$. Devi dimostrare che $m!(n+1-m)!$ divide $(n+1)!$ per ogni $m\le n+1$. Se $m=n+1$ o $m=0$, lo statement è ovvio. Dunque puoi supporre $1\le m\le n$. Come suggerisce il libro, $(n+1)! =n!(n+1-m)+n!\cdot m$. Per ipotesi induttiva, siccome $m\le n$, $m!(n-m)!$ divide $n!$. Ma allora ovviamente $m!(n+1-m)! =m!(n-m)!(n+1-m)$ divide $n!(n+1-m)$. Rimane da dimostrare che $m!(n+1-m)!$ divide $n!\cdot m$. Ma $m!(n+1-m)! =m\cdot (m-1)!(n+1-m)!$, e per ipotesi induttiva essendo $m\le n$ si ha che $(m-1)!(n+1-m)!$ divide $n!$. Il claim segue immediatamente.
Grazie mille! Sono un dilettante e non sai da quanto mi porto dietro questa cosa. Ma come è possibile che in pochi minuti si ottiene una risposta, e così competente? Sono sbalordito. Chi sei?…
Nulla di eccezionale, è solo questione di pratica ed esperienza...
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