Identità nel gruppo delle biunivoche
Buongiorno a tutti,
sappiamo che per ogni insieme non vuoto \(\displaystyle S \), l'insieme \(\displaystyle A(S) \) delle corrispondenze biunivoche di \(\displaystyle S \) su se stesso è un gruppo ed in quanto gruppo deve esistere in esso un elemento identico \(\displaystyle e \), inoltre detto elemento identico è unico.
Dato dunque \(\displaystyle S \) l'insieme composto dai tre elementi \(\displaystyle x, y, z \) abbiamo un gruppo di ordine 6.
Date le due applicazioni $ sigma $ e $ psi $ tali che per $ sigma $ abbiamo:
\(\displaystyle x \longrightarrow y \)
\(\displaystyle y \longrightarrow x \)
\(\displaystyle z \longrightarrow z \)
e per $ psi $ abbiamo:
\(\displaystyle x \longrightarrow y \)
\(\displaystyle y \longrightarrow z \)
\(\displaystyle z \longrightarrow x \)
debbo riscontrare che l'elemento identico è \( (\sigma^2 ) \) , ma lo è anche \( (\psi ^3) \)
Certamente posso scrivere che \( (\sigma^2 )=e \) e che \( (\psi ^3)=e \) ma non riesco però a convincermi del fatto che l'elemento identico in questo particolare gruppo composto dalle corrispondenze biunivoche di \(\displaystyle S \) su se stesso sia unico.
In effetti ho due elementi identici. Dove sto sbagliando ? grazie in anticipo.
sappiamo che per ogni insieme non vuoto \(\displaystyle S \), l'insieme \(\displaystyle A(S) \) delle corrispondenze biunivoche di \(\displaystyle S \) su se stesso è un gruppo ed in quanto gruppo deve esistere in esso un elemento identico \(\displaystyle e \), inoltre detto elemento identico è unico.
Dato dunque \(\displaystyle S \) l'insieme composto dai tre elementi \(\displaystyle x, y, z \) abbiamo un gruppo di ordine 6.
Date le due applicazioni $ sigma $ e $ psi $ tali che per $ sigma $ abbiamo:
\(\displaystyle x \longrightarrow y \)
\(\displaystyle y \longrightarrow x \)
\(\displaystyle z \longrightarrow z \)
e per $ psi $ abbiamo:
\(\displaystyle x \longrightarrow y \)
\(\displaystyle y \longrightarrow z \)
\(\displaystyle z \longrightarrow x \)
debbo riscontrare che l'elemento identico è \( (\sigma^2 ) \) , ma lo è anche \( (\psi ^3) \)
Certamente posso scrivere che \( (\sigma^2 )=e \) e che \( (\psi ^3)=e \) ma non riesco però a convincermi del fatto che l'elemento identico in questo particolare gruppo composto dalle corrispondenze biunivoche di \(\displaystyle S \) su se stesso sia unico.
In effetti ho due elementi identici. Dove sto sbagliando ? grazie in anticipo.
Risposte
Non credo di capire esattamente quale sia il problema visto che tu stesso dici correttamente che $\sigma^{2}=\psi^{3}=e$. Perché vuoi convincerti che l'elemento neutro è unico? L'elemento neutro è sempre unico nei gruppi (segue dalla definizione di gruppo).
Comunque sia ho scritto per dirti che forse potrebbe aiutarti usare la notazione ciclica, in questo modo saltano subito all'occhio certe cose. Nel tuo caso avresti $\sigma = (x\ y)$ e $\psi = (x\ y\ z)$.
Comunque sia ho scritto per dirti che forse potrebbe aiutarti usare la notazione ciclica, in questo modo saltano subito all'occhio certe cose. Nel tuo caso avresti $\sigma = (x\ y)$ e $\psi = (x\ y\ z)$.
Hai ragione ! in effetti, complice la stanchezza mi ero convinto, erroneamente e calcolando a memoria, che applicando prima $ sigma $ e poi \( \psi ^3 \) non avrei ottenuto lo stesso risultato dell'applicazione $ sigma $. In effetti quindi, l'elemento neutro è unico, non si fugge. Grazie comunque per il tempo dedicato.
@algibro,
l insieme \(\operatorname{Aut}(S)\) (ovvero l insieme degli endomorfismi bigettivi in \(S\)) é un gruppo rispetto alla composizione (facile da dimostrare) e l elemento neutro é \(\operatorname{Id}_S\), essendo gruppo l elemento neutro é unico ergo se ne esistono alltri che si comportano tali questi devono essere uguali ad \( \operatorname{Id}_S\). Nel tuo esercizio ti dice infatti di verificare proprio questa uguaglianza ovvero \(\sigma^2=\operatorname{Id}_S=\psi^3\) e se procedi nel valutare \(\sigma^2(w)\) ed \(\psi^3(w)\), con \(w \in S\), avendo esplicitamente i due automorfismi devi ottenere esattamente \(\operatorname{Id}_S(w)\)... é un facilissimo esercizio che di solito si affronta per questioni legate all ordine, o alla commutativitá (io ricordo di averlo affrontato nel gruppo simmetrico \(S_3\)...)
l insieme \(\operatorname{Aut}(S)\) (ovvero l insieme degli endomorfismi bigettivi in \(S\)) é un gruppo rispetto alla composizione (facile da dimostrare) e l elemento neutro é \(\operatorname{Id}_S\), essendo gruppo l elemento neutro é unico ergo se ne esistono alltri che si comportano tali questi devono essere uguali ad \( \operatorname{Id}_S\). Nel tuo esercizio ti dice infatti di verificare proprio questa uguaglianza ovvero \(\sigma^2=\operatorname{Id}_S=\psi^3\) e se procedi nel valutare \(\sigma^2(w)\) ed \(\psi^3(w)\), con \(w \in S\), avendo esplicitamente i due automorfismi devi ottenere esattamente \(\operatorname{Id}_S(w)\)... é un facilissimo esercizio che di solito si affronta per questioni legate all ordine, o alla commutativitá (io ricordo di averlo affrontato nel gruppo simmetrico \(S_3\)...)
Forse avevo interpretato male ma io avevo capito che con $A(S)$ intendesse il gruppo delle applicazioni biettive da $S$ in $S$, ossia $Sym(S)$ per i comuni mortali (infatti non avevo capito il perché di quella notazione), non $Aut(S)$ (che non avrebbe nemmeno senso a meno che $S$ non sia gruppo). Correggetemi se dico cavolate eh 
"zariski":il tuo problema é solo di notazione e definizione? O pensavi che avesse preso automorfismi di un gruppo e non di un insieme? Per me il "gruppo simmetrico/delle permutazioni di \(S\)" é il gruppo \((\operatorname{Aut}(S),\circ))=:\mathcal{S}_S\), se \(S=\{1,2,...,n\}\) allora si indica \(\mathcal{S}_S=:\mathcal{S}_n\), ergo \(\operatorname{Aut}(S)\) ha definizione puramente insiemistica (che poi, lavoriamo su insiemi o cosí mi sembra di avere letto). Io avevo capito che avendo dimostrato che in \(\operatorname{Aut}(S)\) valgono gli assiomi di gruppo rispetto alla composizione, ergo aveva preso giá il gruppo \(\mathcal{S}_S\), doveva mostrare che quei due automorfismi hanno quella particolare proprietá e si confondeva sull unicitá dell elemento neutro...
Forse avevo interpretato male ma io avevo capito che con $A(S)$ intendesse il gruppo delle applicazioni biettive da $S$ in $S$, ossia $Sym(S)$ per i comuni mortali (infatti non avevo capito il perché di quella notazione), non $Aut(S)$ (che non avrebbe nemmeno senso a meno che $S$ non sia gruppo). Correggetemi se dico cavolate eh
E' proprio di definizione credo a questo punto, ti provo a scrivere secondo me cosa sono il gruppo degli automorfismi e il gruppo simmetrico secondo me.
$Sym(A) = {f: A \to A | f \ \text{funzione biettiva}} \cong S_{n}$ con $n = |A|$
Questo con la composizione di funzioni è sempre un gruppo e $A$ è un insieme (non vuoto).
$Aut(G) = {g: G \to G | g \ \text{isomorfismo}}$
Questo con la composizione di funzioni è sempre un gruppo ma qua anche $G$ deve esserlo per forza perché altrimenti non potrei avere isomorfismi da $G$ in $G$ (forse si può estendere questa definizione al caso in cui $G$ non sia un gruppo, ma un insieme non basta lo stesso, deve sempre esistere un qualche morfismo $g$, magari non di gruppi, tra $G$ e $G$).
Quindi proprio non mi torna il tuo $Aut(S) = S_{S}$ perché dalle definizioni che ho io il primo non posso nemmeno definirlo se $S$ non è un gruppo.
$Sym(A) = {f: A \to A | f \ \text{funzione biettiva}} \cong S_{n}$ con $n = |A|$
Questo con la composizione di funzioni è sempre un gruppo e $A$ è un insieme (non vuoto).
$Aut(G) = {g: G \to G | g \ \text{isomorfismo}}$
Questo con la composizione di funzioni è sempre un gruppo ma qua anche $G$ deve esserlo per forza perché altrimenti non potrei avere isomorfismi da $G$ in $G$ (forse si può estendere questa definizione al caso in cui $G$ non sia un gruppo, ma un insieme non basta lo stesso, deve sempre esistere un qualche morfismo $g$, magari non di gruppi, tra $G$ e $G$).
Quindi proprio non mi torna il tuo $Aut(S) = S_{S}$ perché dalle definizioni che ho io il primo non posso nemmeno definirlo se $S$ non è un gruppo.
[ot]io credo che diciamo la stessa cosa ma in modi diversi, la tua osservazione é corretta comunque. L esercizio tratta automorfismi di un oggetto della categoria degli insiemi mentre tu pensi anche ad automorfismi di un oggetto della categoria dei gruppi; tecnicamente per un insieme \(A\), nel mio caso, si indica $$\operatorname{Aut}_{\text{Set}}(A)\subset \operatorname{End}_{\text{Set}}(A) := \operatorname{Hom}_{\text{Set}}(A,A):=A^A$$ e per un gruppo \(A\), per quanto dici tu, si indica $$\operatorname{Aut}_{\text{Grp}}(A) \subset \operatorname{End}_{\text{Grp}}(A):=\operatorname{Hom}_{\text{Grp}}(A,A)$$ chiedo pardon per l abuso di notazione nel non avere esplicitato l operatione in \(A\). Morale, avrei dovuto specificarlo forse...
ps: peccato poni, nel caso di insiemi, \(A\) non vuoto...
Spero sia chiaro, sto studiando qualcosa delle categorie da poco ergo potrei fare imprecisazioni...[/ot]
ps: peccato poni, nel caso di insiemi, \(A\) non vuoto...
Spero sia chiaro, sto studiando qualcosa delle categorie da poco ergo potrei fare imprecisazioni...[/ot]
Ragazzi fermi tutti, io non so nemmeno cosa siano gli endomorfismi, tanto meno gli automorfismi. Mi spiego, sto seguendo un testo di algebra (Herstein) e non ho ancora affrontato detti argomenti. A ogni modo, prima di arrivare agli auto/endomorfismi viene proposto un esercizio sull'insieme composto dalle corrispondenze biunivoche di un insieme su se stesso. Come detto nel mio primo messaggio.
Mi è più chiaro il concetto quando garnak.olegovitc, anche se non credo parli del mio esempio in particolare, dice che
Il punto era proprio questo, avevo applicazioni diverse che portano elementi in altri elementi in maniera differente, non mi convincevo che potessero essere entrambe l'elemento identico, ma mi sbagliavo, perché in effetti sia \( (\sigma^2 ) \) che \( (\psi ^3) \) , pur essendo due applicazioni differenti, si comportano entrambe da elemento identico, quindi l'elemento identico è unico in questo senso. Ho capito bene vero !?
Grazie per il tempo dedicato.
Mi è più chiaro il concetto quando garnak.olegovitc, anche se non credo parli del mio esempio in particolare, dice che
"garnak.olegovitc":
...l elemento neutro é unico ergo se ne esistono altri che si comportano tali questi devono essere uguali ad \( \operatorname{Id}_S\)...
Il punto era proprio questo, avevo applicazioni diverse che portano elementi in altri elementi in maniera differente, non mi convincevo che potessero essere entrambe l'elemento identico, ma mi sbagliavo, perché in effetti sia \( (\sigma^2 ) \) che \( (\psi ^3) \) , pur essendo due applicazioni differenti, si comportano entrambe da elemento identico, quindi l'elemento identico è unico in questo senso. Ho capito bene vero !?
Grazie per il tempo dedicato.
"algibro":\(\sigma\) ed \(\psi\) sono applicazioni "differenti"[nota]ammesso intuisco bene cosa intendi per differenti[/nota]... come fai a dire a priori che \(\sigma^2\) ed \( \psi^3\) sono "differenti"
perché in effetti sia \( (\sigma^2 ) \) che \( (\psi ^3) \) , pur essendo due applicazioni differenti, si comportano entrambe da elemento identico, quindi l'elemento identico è unico in questo senso. Ho capito bene vero !?
?! questo non lo sai...infatti abbiamo che differenti non sono, \(\sigma^2\) ed \( \psi^3\) si comportano da elemento neutro in un gruppo ergo sono uguali tra loro ed uguali all automorifsmo identitá ergo sono uguali (insiemisticamente) (Non ci perdere tanto tempo, pensa solo al significato del quantificatore esistenziale \(\exists!\) nel caso di un elemento neutro in un gruppo e cosa abbrevia in veritá (CLIC)...)PS. chiedo scusa per l OT, lo metto in parentesi..
Ti ringrazio.
Beh, dicevo "differenti" per un banale e credo a questo punto irrilevante motivo: muovono gli elementi dell'insieme \(\displaystyle S \) in maniera differente (il primo due volte, il secondo addirittura tre, oltre al fatto che li muovono differentemente nel senso che il primo manda \(\displaystyle y \) in \(\displaystyle x \) mentre il secondo manda \(\displaystyle y \) in \(\displaystyle z \)!), ma quello che a me deve importare, a questo punto, immagino sia semplicemente che entrambe le applicazioni si comportano nella stessa maniera, cioè da elemento neutro (che quindi è unico).
E poi tu continui a citarmi l'automorfismo (si scrive così ?) ma io non ho la più pallida idea di cosa sia
Beh, dicevo "differenti" per un banale e credo a questo punto irrilevante motivo: muovono gli elementi dell'insieme \(\displaystyle S \) in maniera differente (il primo due volte, il secondo addirittura tre, oltre al fatto che li muovono differentemente nel senso che il primo manda \(\displaystyle y \) in \(\displaystyle x \) mentre il secondo manda \(\displaystyle y \) in \(\displaystyle z \)!), ma quello che a me deve importare, a questo punto, immagino sia semplicemente che entrambe le applicazioni si comportano nella stessa maniera, cioè da elemento neutro (che quindi è unico).
E poi tu continui a citarmi l'automorfismo (si scrive così ?) ma io non ho la più pallida idea di cosa sia
"garnak.olegovitc":
[ot]io credo che diciamo la stessa cosa ma in modi diversi, la tua osservazione é corretta comunque. L esercizio tratta automorfismi di un oggetto della categoria degli insiemi mentre tu pensi anche ad automorfismi di un oggetto della categoria dei gruppi; tecnicamente per un insieme \(A\), nel mio caso, si indica $$\operatorname{Aut}_{\text{Set}}(A)\subset \operatorname{End}_{\text{Set}}(A) := \operatorname{Hom}_{\text{Set}}(A,A):=A^A$$ e per un gruppo \(A\), per quanto dici tu, si indica $$\operatorname{Aut}_{\text{Grp}}(A) \subset \operatorname{End}_{\text{Grp}}(A):=\operatorname{Hom}_{\text{Grp}}(A,A)$$ chiedo pardon per l abuso di notazione nel non avere esplicitato l operatione in \(A\). Morale, avrei dovuto specificarlo forse...
ps: peccato poni, nel caso di insiemi, \(A\) non vuoto...
Purtroppo non so nulla sulle categorie (solo di nome) anche se credo di intuire vagamente dove si cela il fraintendimento. Ho seguito solo un corso introduttivo di algebra sui gruppi, le mie conoscenze si fermano qui. Comunque grazie mille della spiegazione, se quando saprò qualcosa sulle categorie mi ricorderò tornerò a leggere questo topic
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