Identificare anello con insieme di omomorfismi

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Il mio testo di algebra, il Bosch, dice che, "usando la proprietà universale degli anelli di polinomi [che scrivo sotto e che chiamo 2.5/1 come sul Bosch per farvi riferimento in seguito] possiamo identificare [l'anello dei vettori di Witt] \(W(R)\) con l'insieme \(\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R)\)" di tutti gli omomorfismi di anelli \(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\to R\) dove \(\mathfrak{X}=(X_0,X_1,...)\).
La proprietà universale degli anelli è enunciata nella seguente proposizione

"Bosch, Algebra, prop. 2.5/1":1033lb8c:Sia $\phi:R'\to R$ un omomorfismo di anelli commutativi e sia $\sigma:M\to R$ un omomorfismo di monoidi considerando $R$ monoide rispetto alla moltiplicazione di anello. Esiste allora un unico omomorfismo di anelli \(\Phi:R'[M]\to R\) tale che \(\Phi|_{R'}=\varphi\) e \(\Phi(X^\mu)=\sigma(\mu)\) per ogni $\mu\in M$.

Questa proposizione direi (ma ne sono tutt'altro che convinto) che si applichi in questo caso con $M=\mathbb{N}^\mathbb{N}$ con l'operazione di monoide definita dall'addizione componente per componente e con \(X{^\mu}=X_0^{\mu_0}\cdot X_1^{\mu_1}...\) per $\mu=(\mu_0,\mu_1,...)$; direi poi che per applicarla si ponga \(R'=\mathbb{Z}\) e si utilizzi come $\phi$ l'omomorfismo di anelli \(\mathbb{Z}\to R,1\mapsto 1\) e come omomorfismo di monoidi si scelga \(\sigma:\mu \mapsto x^\mu\)... sempre che serva fissare un monomorfismo di monoidi $\sigma$ ai nostri scopi.

In ogni caso, non mi è chiaro come si possa identificare -né che cosa significhi ciò realmente- un anello come \(W(R)\) con un'insieme di omomorfismi \(\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R)\) grazie a questa proposizione 2.5/1, né tantomeno come si possa essere quindi legittimati ad utilizzare questa identificazione, come trovo fatto nella dimostrazione della proposizione 4.10/6(iii) a p. 203 del Bosch.* Posto, per chiarire il contesto, la continuazione e la conclusione a p. 204 della dimostrazione, perché questa pagina manca nell'anteprima di Googlebooks linkata:

"S. Bosch, Algebra, p. 204":1033lb8c:Dato poi un omomorfismo di anelli $f:R\to R'$ si ottiene canonicamente, sia per l'addizione che per la moltiplicazione, un diagramma commutativo
\[\begin{equation*}
\begin{CD}
\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}],R) @>>> \text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R) \\
@VVV @VVV \\
\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}],R') @>>>\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R')
\end{CD}
\end{equation*}\]dove le frecce verticali sono definite tramite la composizione con $f$: quella di destra può essere vista come l'applicazione\[W(f):W(R)\to W(R'),\quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto (f(a_n))_{n\in\mathbb{N}},\]mentre quella di sinistra come \(W(f)\times W(f)\). La commutatività del diagramma dice che $W(f)$ è un omomorfismo di anelli.\(\quad\square\)

Qualcuno ha le idee più chiare di me?
(grazie,grazie,...) a tutti!!

*Dove sono convinto che esista un piccolo refuso nell'ultima riga, che credo debba essere piuttosto\[g:\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\to\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}],\quad X_n\mapsto S_n\quad(\text{risp. }X_n\mapsto P_n)\]cioè una parentesi spostata: il terzo refuso che trovo nel Bosch dopo più di 200 pp., il che lo rende un libro più che eccellente anche fosse solo per quello (in realtà mi piace molto anche per altri motivi), date le mie disavventure con i refusi.

[j18eos]

CIa0 Davide,

quella proprietà universale è nella categoria dei monoidi: giusto? Cosa sarebbe il monoide \(\displaystyle R'[M]\)?

Grazie della spiegazione,
così da capirci anche io qualcosa di nuovo ;P

[DavideGenova1]

Sono contento che l'argomento susciti interesse anche per chi non è inesperto come me.
$R$ e $R'$ sono anelli commutativi qualunque, mentre \(R'[M]\) è, in notazione polinomiale, un anello di elementi della forma \(\sum_{\mu\in M}a_{\mu}X^{\mu},a_{\mu}\in M\) con $M$ monoide. Per esempio con $M=\mathbb{N}^{n+1}$ con operazione di monoide definita dall'addizione componente per componente si può, per $\mu=(\mu_0,...,\mu_n)\in\mathbb{N}^{n+1}$, scrivere \(a_\mu X^{\mu}=a_\mu X^{(\mu_0,...,\mu_n)}\) come \(a_{\mu_0,...,\mu_n}\prod_{i=0}^{n}X_i^{\mu_i}\): il monomio dove ogni $i$-esima variabile ha grado $\mu_i$.
Purtroppo Googlebooks taglia proprio la pagina 49 dove il teorema è enunciato e dimostrato.
Comunque, esplicitamente l'omomorfismo di anelli si può naturalmente scrivere \(\Phi(\sum_{\mu\in M}a_{\mu}X^{\mu})=\sum_{\mu\in M}\varphi(a_{\mu})\sigma(\mu)\). Scegliendo come $\phi$ l'inclusione $R'\subset R$ e come $\sigma$ l'omomorfismo di monoidi \((\mathbb{N}^{n+1},+)\to (R,\cdot),\mu\mapsto x^{\mu}=\prod_{i=0}^{n}x_i^{\mu_i}\) per un $x=(x_0,...,x_n)\in R^{n+1}$ fissato, ottieni come $\Phi$ l'omomorfismo di valutazione.

[j18eos]

Come denoti l'operazione interna ad \(\displaystyle R'[M]\)?

Eppoi quelli sono polinomi o serie formali? Sai cosa ti sto chiedendo?!

[DavideGenova1]

Si tratta di polinomi, eventualmente in infinite variabili, ma non serie formali infinite. Le operazioni sono quelle definite qui (noto a volte che su Googlebooks non si carica la pagina alla prima a partire dal link, ma "rinfrescando" una volta si carica): in pratica le consuete operazioni su anelli di polinomi.

[j18eos]

Quindi l'operazione interna è il prodotto e non tutti i coefficienti di quella serie sono non nulli???

[DavideGenova1]

$R'[M]$ è un anello, con le due operazioni di somma e prodotto definite nella pagina linkata. Per quanto riguarda i coefficienti dei suoi elementi espressi come \(\sum_{\mu\in M}a_{\mu}X^{\mu}\), sì, scusa per non averlo specificato, solo un numero finito di essi è non nullo.

[j18eos]

googlebooks mi è antipatico...

Mi fido di quanto scrivi; ed ho riletto che \(\displaystyle R'[M]\) non è un monoide ma un anello (di polinomi) con le usuali operazioni di somma componente per componente e prodotto a la Cauchy.

[j18eos]

Tornando al primo post (all'op): tu identifichi il generico elemento \(\displaystyle\mu\) del monoide \(\displaystyle M\) con la indeterminata \(\displaystyle X^{\mu}\) nell'anello di polinomi \(\displaystyle R'[M]\) ove \(\displaystyle(R',+,\cdot)\) è un anello commutativo (e sotto intendi con unità; altrimenti \(\displaystyle(R',\cdot)\) sarebbe un semigruppo privo di elemento neutro).

Se ho ben capito il tuo dubbio: prova a costruire esplicitamente il morfismo di anelli \(\displaystyle\Psi\)!

[DavideGenova1]

Suppongo, scelto un \(x\in R^{\mathbb{N}}\), di dover porre\[\varphi:\mathbb{Z}\to R,\quad 1\mapsto 1\]\[\sigma:\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to R,\quad \mu=(\mu_0,\mu,...)\mapsto x^{\mu}=x_0^{\mu_0}x_1^{\mu_1}...\]e quindi \(\Phi:\mathfrak{X}^{\mu}\mapsto x^{\mu}\). Da qui all'identificazione (termine che non sono neanche certo di che cosa significhi e di come ci autorizzi a trattare \(\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R)\) come se fosse $W(R)$ per dimostrare la iii qui) non saprei come arrivare...
$\infty$ grazie per l'infinita pazienza...

[j18eos]

Ma secondo le notazioni introdotte: non è \(\displaystyle\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]=\mathbb{Z}[\mathbb{N}_0]\) ove \(\displaystyle\mathbb{N}_0=\{0;1;...\}\)?

Inizia a costruire quel morfismo così!

[DavideGenova1]

"j18eos":Ma secondo le notazioni introdotte: non è \(\displaystyle\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]=\mathbb{Z}[\mathbb{N}_0]\) ove \(\displaystyle\mathbb{N}_0=\{0;1;...\}\)?

Certo: \(\displaystyle\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]=\mathbb{Z}[\mathbb{N}_0]=\mathbb{Z}[X_0,X_1,X_2,...]\)

"j18eos":Inizia a costruire quel morfismo così!

Ehm... cioè? Scusa per la durezza di comprendonio...

[j18eos]

Dati (gl)i (omo)morfismi di anelli \(\displaystyle\varphi:\mathbb{Z}\to R\) e di monoidi \(\displaystyle\sigma:(\mathbb{N}_0,+)\to R\): costruisci esplicitamente il morfismo \(\displaystyle\Phi:\mathbb{Z}[\mathbb{N}_0]\to R\) tale che \(\displaystyle\Phi_{|\mathbb{Z}}=\varphi\) e \(\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}_0,\,\Phi(X_n)=\sigma(n)\)!

Indizio: chi sono \(\displaystyle\varphi(1)\) e \(\displaystyle\sigma(0)\)?

[DavideGenova1]

Con gli omomorfismi $\phi$ e $\sigma$ che ho definito prima direi che $\phi(1)=1\in R$. Mi pare che, per quanto riguarda $\sigma$, tu mi stia invitando a considerare che valori assume per i vari \(\epsilon_n\in\mathbb{N}_0^{\mathbb{N}_0}\) dove uso la notazione \(\epsilon_n\) del Bosch per \((0,...,0,1,0,...)\) con componente non nullo solo nell'$n$-esima posizione, per cui \(\Phi(\mathfrak{X}^{\epsilon_n})=\Phi(X_n)=x_n\) dove $x_n\in R$ è l'$n$-esima componente di $x\in R^{\mathbb{N}_0}$...
Spero di non dire scemenze.
Mi è chiaro che \(\Phi(W_n(\frak{X}\)\())=(w(x))_n\) dopve \((w(x))_n\) è l'$n$-esima componente dell'immagine di $x\in R^{\mathbb{N}}$ attraverso l'omomorfismo (qui in 6(ii)) che si usa per definire prodotto e somma in \(W(R)\), ma non vedo ancora come identificare \(W(R)\) con l'insieme di tutti e soli gli omomorfismi \(\mathbb{Z}[\frak{X}]\)\(\to R\)...

[j18eos]

"Se scrivi una cosa del genere all'esame ti impallino!" (Una delle mia 4 prof.e di geometria algebrica)

In altri termini: come\dove dimostri che \(\displaystyle\Phi\) è un omomorfismo di anelli?

Mi sto comportando così perché: i) hai le capacità di risolvere questo "problema"; ii) non ho alcuna intenzione\voglia di studiare i polinomi di Witt... mi bastano quelli Poincaré ed Hilbert!

[DavideGenova1]

"j18eos":"Se scrivi una cosa del genere all'esame ti impallino!" (Una delle mia 4 prof.e di geometria algebrica)

Quindi sto dicendo scempiaggini. Una volta scelto un $\sigma$ come l'ho definito, ciò che ho scritto non è in accordo con la definizione di questo $\Phi$ tale che \(\Phi|_{R'}=\varphi\) e \(\Phi(X^\mu)=\sigma(\mu)\) per ogni $\mu\in M$?

"j18eos":In altri termini: come\dove dimostri che \(\displaystyle\Phi\) è un omomorfismo di anelli?

Dati due polinomi di \(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\) a coefficienti $a_{\mu}$ e $b_{\mu}=b_{\mu_0,\mu_1,...}$ con \(\mu\in M=\mathbb{N}_0^{\mathbb{N}_0}\) non nulli in numero finito mi pare che

\(\Phi(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu}+\sum_{\mu\in M }b_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu} )=\Phi(\sum_{\mu\in M }(a_{\mu}+b_{\mu})\mathfrak{X}^{\mu}) =\sum_{\mu\in M }(a_{\mu}+b_{\mu})x^{\mu}\)
\(=\sum_{\mu\in M }a_{\mu}x^{\mu}+\sum_{\mu\in M }b_{\mu}x^{\mu}=\Phi(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})+\Phi(\sum_{\mu\in M }b_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})\);

\(\Phi(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu}\cdot\sum_{\mu\in M }b_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu} )=\Phi(\sum_{\mu\in M }(\sum_{\lambda+\nu=\mu} a_{\lambda}b_{\nu})\mathfrak{X}^{\mu}) =\sum_{\mu\in M }(\sum_{\lambda+\nu=\mu} a_{\lambda}b_{\nu})x^{\mu}\)
\(=\sum_{\mu\in M }a_{\mu}x^{\mu}\cdot\sum_{\mu\in M }b_{\mu}x^{\mu}=\Phi(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})\cdot\Phi(\sum_{\mu\in M }b_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})\);

\(\Phi(1)=\varphi(1)=1\in R\).

In altre parole mi sembrerebbe un comune omomorfismo di valutazione. Forse dico scemenze, ma probabilmente il freddo mi ha causato dei globuli di ghiaccio nei vasi cerebrali...

"j18eos":hai le capacità di risolvere questo "problema"

Speriamo... Mi fai onore, ma mi sa che mi sopravvaluti...

[j18eos]

Le prime due righe sono un'unica riga; e sbagli la dimostrazione

Lo so che \(\displaystyle\Phi\) è un omomorfismo di anelli, ma lo devi dimostrare; tecnicamente tu hai definito \(\displaystyle\Phi\) solo su \(\displaystyle\mathbb{Z}\) e le indeterminate, devi determinare come si comporta sugli altri elementi dell'anello.

[DavideGenova1]

Dov'è l'errore? Mi scuso tanto e ti ringrazio per la pazienza, ma non ci capisco più nulla...

"j18eos":devi determinare come si comporta sugli altri elementi dell'anello.

Beh, lasciando invariati i coefficienti e mandando ogni \(\mathfrak{X}^{\mu}\) in \(x^{\mu}\) (avendo fissato un \(x=(x_0,x_1,...)\in R^{\mathbb{N}_0}\) per cui $x^{\mu}=x_0^{\mu_0}x_1^{\mu_1}...$), direi che, con quel \(\sigma:\mu\mapsto x^{\mu}\), si abbia semplicemente \( \Phi(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})=\sum_{\mu\in M }a_{\mu}x^{\mu}\) per ogni polinomio \(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu}\in\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\): che cosa sbaglio?
Grazie di cuore ancora per l'illimitata pazienza...

[j18eos]

Mi sono espresso io male...

Molto più semplicemente, così chiudiamo il discorso su \(\displaystyle\Phi\):
\[
\forall r\in R;\mu\in M,\,\Phi(rX^{\mu})=\varphi(r)\sigma(\mu)\in R'
\]
ed estendi!

Così definisci in maniera chiara e lecita quel morfismo; concordi?

Inoltre così si capisce perché \(\displaystyle M\) è un monoide, \(\displaystyle R\) ed \(\displaystyle R'\) sono anelli commutativi unitari... vero?

Nota bene: \(\displaystyle\forall\alpha,\beta\in M,\,\Phi(X^{\alpha\beta})=\Phi(X^{\alpha})\Phi(X^{\beta})\)!

[DavideGenova1]

"j18eos":Molto più semplicemente, così chiudiamo il discorso su \(\displaystyle\Phi\):
\[
\forall r\in R;\mu\in M,\,\Phi(rX^{\mu})=\varphi(r)\sigma(\mu)\in R'
\]
ed estendi!

Certo (se è questo ciò che mi stai chiedendo: mi sa che è già un po' che non sto capendo che cosa mi chiedi di fare ):\[\forall \sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu}\in\mathbb{Z}[\mathfrak{X}];\mu\in M=\mathbb{N}_0^{\mathbb{N}_0},\Phi\Big(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu}\Big)=\sum_{\mu\in M }\varphi(a_{\mu})\sigma(\mu)\]
Si noti che l'unico omomorfismo di anelli \(\mathbb{Z}\to R\) è molto semplicemente \(\varphi:1\mapsto 1_R\) ovvero \(k\mapsto k\cdot 1_R\).
Quanto a dimostrare che tale \(\Phi\) è un omomorfismo direi (ero sicuro che si dovesse procedere così, ma ora non ne sono più certo...) che dovrei esplicitare i passaggi che mostrano che l'immagine del prodotto (rispettivamente della somma) è il prodotto (rispettivamente la somma) delle immagini (giusto o, come al solito, do i numeri?) e che \(\Phi(1)=\varphi(1)=1\in R\). Quest'ultima uguaglianza discende banalmente da quanto detto per l'unico omomorfismo di anelli \(\mathbb{Z}\to R\). Per le altre direi che, per due polinomi di \(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\) a coefficienti $a_{\mu}$ e $b_{\mu}$ con \(\mu\in M=\mathbb{N}_0^{\mathbb{N}_0}\) quasi tutti nulli, si abbia

\(\Phi(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu}+\sum_{\mu\in M }b_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu} )=\Phi(\sum_{\mu\in M }(a_{\mu}+b_{\mu})\mathfrak{X}^{\mu}) =\sum_{\mu\in M }\varphi(a_{\mu}+b_{\mu})\sigma(\mu)\)
\(=\sum_{\mu\in M }\varphi(a_{\mu})\sigma(\mu)+\sum_{\mu\in M }\varphi(b_{\mu})\sigma(\mu)=\Phi(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})+\Phi(\sum_{\mu\in M }b_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})\);

\(\Phi(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu}\cdot\sum_{\mu\in M }b_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu} )=\Phi(\sum_{\mu\in M }(\sum_{\lambda+\nu=\mu} a_{\lambda}b_{\nu})\mathfrak{X}^{\mu}) =\sum_{\mu\in M }(\sum_{\lambda+\nu=\mu} \varphi(a_{\lambda})\varphi(b_{\nu}))\sigma(\mu)\)
\(=\sum_{\lambda\in M }\varphi(a_{\lambda})\sigma(\lambda)\cdot\sum_{\nu\in M }\varphi(b_{\nu})\sigma(\nu)=\Phi(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})\cdot\Phi(\sum_{\mu\in M }b_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})\)

dove la penultima uguaglianza discende naturalmente dal fatto che \(\sigma(\lambda)\sigma(\nu)=\sigma(\lambda+\nu)\). Mi sembra decisamente che \(\varphi\) nel nostro caso sia, ovviamente direi perché è l'unico possibile da tale dominio, \(\mathbb{Z}\to R,k\mapsto k\cdot1_R\).

EDIT: Come consigliato da Armando, ho messo un po' d'ordine cancellando quando scritto in seguito.

Grazie di cuore ancora ad Armando e a chiunque altro voglia intervenire!!!

[j18eos]

La dimostrazione che \(\displaystyle\Phi\) sia un morfismo è ok!

Se con \(\displaystyle M\) scegli il monoide delle successioni di numeri naturali quasi nulle allora la scrittura usuale sarebbe \(\displaystyle M=\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\)!

Ora il problema nel caso specifico starebbe nel definire il morfismo \(\displaystyle\sigma:\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\to R\)?