Identificare anello con insieme di omomorfismi
Ciao, amici! Il mio testo di algebra, il Bosch, dice che, "usando la proprietà universale degli anelli di polinomi [che scrivo sotto e che chiamo 2.5/1 come sul Bosch per farvi riferimento in seguito] possiamo identificare [l'anello dei vettori di Witt] \(W(R)\) con l'insieme \(\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R)\)" di tutti gli omomorfismi di anelli \(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\to R\) dove \(\mathfrak{X}=(X_0,X_1,...)\).
La proprietà universale degli anelli è enunciata nella seguente proposizione
Questa proposizione direi (ma ne sono tutt'altro che convinto) che si applichi in questo caso con $M=\mathbb{N}^\mathbb{N}$ con l'operazione di monoide definita dall'addizione componente per componente e con \(X{^\mu}=X_0^{\mu_0}\cdot X_1^{\mu_1}...\) per $\mu=(\mu_0,\mu_1,...)$; direi poi che per applicarla si ponga \(R'=\mathbb{Z}\) e si utilizzi come $\phi$ l'omomorfismo di anelli \(\mathbb{Z}\to R,1\mapsto 1\) e come omomorfismo di monoidi si scelga \(\sigma:\mu \mapsto x^\mu\)... sempre che serva fissare un monomorfismo di monoidi $\sigma$ ai nostri scopi.
In ogni caso, non mi è chiaro come si possa identificare -né che cosa significhi ciò realmente- un anello come \(W(R)\) con un'insieme di omomorfismi \(\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R)\) grazie a questa proposizione 2.5/1, né tantomeno come si possa essere quindi legittimati ad utilizzare questa identificazione, come trovo fatto nella dimostrazione della proposizione 4.10/6(iii) a p. 203 del Bosch.* Posto, per chiarire il contesto, la continuazione e la conclusione a p. 204 della dimostrazione, perché questa pagina manca nell'anteprima di Googlebooks linkata:
Qualcuno ha le idee più chiare di me?
(grazie,grazie,...) a tutti!!
*Dove sono convinto che esista un piccolo refuso nell'ultima riga, che credo debba essere piuttosto\[g:\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\to\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}],\quad X_n\mapsto S_n\quad(\text{risp. }X_n\mapsto P_n)\]cioè una parentesi spostata: il terzo refuso che trovo nel Bosch dopo più di 200 pp., il che lo rende un libro più che eccellente anche fosse solo per quello (in realtà mi piace molto anche per altri motivi), date le mie disavventure con i refusi.
La proprietà universale degli anelli è enunciata nella seguente proposizione
"Bosch, Algebra, prop. 2.5/1":1033lb8c:
Sia $\phi:R'\to R$ un omomorfismo di anelli commutativi e sia $\sigma:M\to R$ un omomorfismo di monoidi considerando $R$ monoide rispetto alla moltiplicazione di anello. Esiste allora un unico omomorfismo di anelli \(\Phi:R'[M]\to R\) tale che \(\Phi|_{R'}=\varphi\) e \(\Phi(X^\mu)=\sigma(\mu)\) per ogni $\mu\in M$.
Questa proposizione direi (ma ne sono tutt'altro che convinto) che si applichi in questo caso con $M=\mathbb{N}^\mathbb{N}$ con l'operazione di monoide definita dall'addizione componente per componente e con \(X{^\mu}=X_0^{\mu_0}\cdot X_1^{\mu_1}...\) per $\mu=(\mu_0,\mu_1,...)$; direi poi che per applicarla si ponga \(R'=\mathbb{Z}\) e si utilizzi come $\phi$ l'omomorfismo di anelli \(\mathbb{Z}\to R,1\mapsto 1\) e come omomorfismo di monoidi si scelga \(\sigma:\mu \mapsto x^\mu\)... sempre che serva fissare un monomorfismo di monoidi $\sigma$ ai nostri scopi.
In ogni caso, non mi è chiaro come si possa identificare -né che cosa significhi ciò realmente- un anello come \(W(R)\) con un'insieme di omomorfismi \(\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R)\) grazie a questa proposizione 2.5/1, né tantomeno come si possa essere quindi legittimati ad utilizzare questa identificazione, come trovo fatto nella dimostrazione della proposizione 4.10/6(iii) a p. 203 del Bosch.* Posto, per chiarire il contesto, la continuazione e la conclusione a p. 204 della dimostrazione, perché questa pagina manca nell'anteprima di Googlebooks linkata:
"S. Bosch, Algebra, p. 204":1033lb8c:
Dato poi un omomorfismo di anelli $f:R\to R'$ si ottiene canonicamente, sia per l'addizione che per la moltiplicazione, un diagramma commutativo
\[\begin{equation*}
\begin{CD}
\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}],R) @>>> \text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R) \\
@VVV @VVV \\
\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}],R') @>>>\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R')
\end{CD}
\end{equation*}\]dove le frecce verticali sono definite tramite la composizione con $f$: quella di destra può essere vista come l'applicazione\[W(f):W(R)\to W(R'),\quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto (f(a_n))_{n\in\mathbb{N}},\]mentre quella di sinistra come \(W(f)\times W(f)\). La commutatività del diagramma dice che $W(f)$ è un omomorfismo di anelli.\(\quad\square\)
Qualcuno ha le idee più chiare di me?
(grazie,grazie,...) a tutti!!
*Dove sono convinto che esista un piccolo refuso nell'ultima riga, che credo debba essere piuttosto\[g:\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\to\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}],\quad X_n\mapsto S_n\quad(\text{risp. }X_n\mapsto P_n)\]cioè una parentesi spostata: il terzo refuso che trovo nel Bosch dopo più di 200 pp., il che lo rende un libro più che eccellente anche fosse solo per quello (in realtà mi piace molto anche per altri motivi), date le mie disavventure con i refusi.
Risposte
"j18eos":
Ora il problema nel caso specifico starebbe nel definire il morfismo \(\displaystyle\sigma:\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\to R\)?
Forse il tempo migliore di oggi mi ha fatto sgelare le sinapsi, oppure al contrario la minore umidità mi ha seccato le meningi facendomi convincere di qualcosa di completamente distorto*, ma mi sono accorto forse si può stabilire una corrispondenza tra \(W(R)\), che è l'insieme delle successioni appartenenti a \(R^{\mathbb{N}_0}\), senza alcuna condizione sul numero di componenti non nulle, con operazioni di anello definite non componente per componente, ma come successioni \((S_n(x,y))_{n\in\mathbb{N}_0}\) e \((P_n(x,y))_{n\in\mathbb{N}_0}\) di valori assunti da particolari polinomi \(S_n\) e \(P_n\), e \(\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R)\) proprio notando che, assegnato l'omomorfismo di monoidi \[\sigma:(\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)},+)\to (R,\cdot),\quad \mu=(\mu_0,\mu_1,...)\mapsto x^{\mu}=x_0^{\mu_0}x_1^{\mu_1}...\]fissato un \(x\in R^{\mathbb{N}_0}\), si ha che esiste uno ed un solo omomorfismo di anelli (e credo anche che ogni omomorfismo \(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\to R\) debba essere di questa forma perché deve sia assegnare ad ogni indeterminata un valore in $R$ sia, come detto nei precedenti messaggi, mandare \(1\in\mathbb{Z}\) in \(1\in R\))\[\Phi:\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\to R,\quad \mathfrak{X}^{\mu}\mapsto x^{\mu}=x_0^{\mu_0}x_1^{\mu_1}...\]e tale che\[\Phi|_{\mathbb{Z}}=\varphi:\mathbb{Z}\to R,\quad 1\mapsto 1\]cioè tale che per \(\epsilon_n\in\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\) (dove uso la notazione \(\epsilon_n\) del Bosch per \((0,...,0,1,0,...)\) con componente non nulla solo nell'$n$-esima posizione) si ha \(\Phi(\mathfrak{X}^{\epsilon_n})=\Phi(X_n)=x_n\) dove $x_n\in R$ è l'$n$-esima componente di $x\in R^{\mathbb{N}_0}$, cioè per ogni \(x\in R^{\mathbb{N}_0}\) esiste uno ed un solo omomorfismo \(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\to R\) tale che \(\Phi(\mathfrak{X}^{\epsilon_0})=\Phi(X_0)=x_0\), \(\Phi(\mathfrak{X}^{\epsilon_1})=\Phi(X_1)=x_1\), \(\Phi(\mathfrak{X}^{\epsilon_2})=x_2\),...
Esplicitando, per ogni \(\sum_{\mu\in M }a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu}\in\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],\mu\in\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\) si ha\[\Phi\Big(\sum_{\mu\in \mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}}a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu}\Big)=\sum_{\mu\in \mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}}a_{\mu}x^{\mu}=\sum_{\mu\in \mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}}a_{\mu_0,\mu_1,...}x_0^{\mu_0}x_1^{\mu_1}...\]
È anche chiaro che ad ogni identià \(f(\mathfrak{X})+g(\mathfrak{Y})=h(\mathfrak{X,Y})\) corrisponde un'identità \(f(x)+g(y)=h(x,y)\in R\), e analogamente per la moltiplicazione.
Questa interpretazione di "identificazione", che sono lungi dal considerare certa, mi sembrerebbe compatibile con il diagramma, che mi pare si riveli con queste assunzioni commutativo come è e dice l'autore, presentato dal Bosch
\[\begin{equation*}\begin{CD}\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}],R) @>>> \text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R) \\
@V\alpha VV @VV\beta V \\\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}],R') @>>>\text{Hom}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R') \end{CD}\end{equation*}\]
dove la freccia orizzontale superiore indica (si noti oltretutto che quanto detto detto per \(\Phi:\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\to R\) vale in maniera analoga per l'isomorfo \(\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}]\) ) le applicazioni \((\Phi:\mathbb{Z}[\mathfrak{X,Y}]\to R)\mapsto(\Phi\circ g:\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]\to R)\) con \(g:\mathfrak{X}\mapsto (S_n(\mathfrak{X,Y}))_{n\in \mathbb{N}_0}\) che corrisponde alla somma tra due generici "rappresentanti di vettori" con indeterminate per componenti \(\mathfrak{X}\) e \(\mathfrak{Y}\) (e rispettivamente \(g:\mathfrak{X}\mapsto (P_n(\mathfrak{X,Y}))_{n\in \mathbb{N}_0}\) quando consideriamo la moltiplicazione in \(W(R)\)). La freccia orizzontale inferiore indica le operazioni rispettivamente analoghe in \(W(R')\) e le frecce verticali denotano\[\alpha: \Phi\mapsto f\circ \Phi,\quad \beta:\Phi\mapsto f\circ \Phi\circ g\]
A me quadra (e probabilmente sono io fuori quadratura). Se qualcuno ha conferme o smentite...
Grazie di cuore ad Armando per quanto contribuito e per quanto contribuisca ancora e a chiunque altro intervenga!
*questo è il rischio a studiare queste cose senza frequentare corsi universitari ed è una delle cose che maggiormente mi blocca: direi che è meglio bloccarsi che compromettere il proprio arricchimento in cultura matematica fissandosi in testa cose completamente fuorvianti, ma credo che sia comunque meglio convincersi di un po' di cose sbagliate e di altre corrette che rimanere ignoranti di tutto... cerco di rimanere in equilibrio sperando di restare sulla (cor)retta via.
EDIT: Corretto \(\mathbb{N}_0^{\mathbb{N}_0}\) con \(\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\) come suggerito da j18eos.Grazie ancora, Armando!
Mi correggo ancora una volta: il morfismo \(\displaystyle\Phi\) dipende esplicitamente (per costruzione) dai morfismi \(\displaystyle\varphi\) e \(\displaystyle\sigma\); ovvero cambiando uno dei due cambia \(\displaystyle\Phi\).
Detto ciò, non ha senso questa mia domanda:
Riesci a compiere quest'altro passo?
Anticipo: Facendo questo passo ti mostrerò che esistono particolari applicazioni biettive... Se ti suona qualche campanello di allarme: non correre avanti!
P.S.:
Detto ciò, non ha senso questa mia domanda:
"j18eos":Ed aggiungo, che per valere la proprietà universale bisogna dimostrare che non posso esistere morfismi distinti da \(\displaystyle\Phi\)!
...Ora il problema nel caso specifico starebbe nel definire il morfismo \( \displaystyle\sigma:\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\to R \)?
Riesci a compiere quest'altro passo?
Anticipo: Facendo questo passo ti mostrerò che esistono particolari applicazioni biettive... Se ti suona qualche campanello di allarme: non correre avanti!
P.S.:
"DavideGenova":Insomma quel \(\displaystyle\sigma\) dipende da \(\displaystyle x\)?! Ti ricordo che le operazioni sono con finiti elementi...
...\[
\sigma:(\mathbb{N}_0^{\mathbb{N}_0},+)\to (R,\cdot),\quad \mu=(\mu_0,\mu_1,...)\mapsto x^{\mu}=x_0^{\mu_0}x_1^{\mu_1}...
\]
fissato un \( x\in R^{\mathbb{N}_0} \)...
"j18eos":Lo compie il mio testo di algebra: se \(\Phi(\mathfrak{X}^{\mu})=\sigma(\mu)\) e \(\Phi|_{R'}=\varphi\), per essere un omomorfismo di anelli deve naturalmente essere \(\Phi(\sum a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})=\sum\Phi(a_{\mu}\mathfrak{X}^{\mu})=\sum\Phi(a_{\mu})\Phi(\mathfrak{X}^{\mu})=\sum\varphi(a_{\mu})\sigma(\mu)\), ma forse se l'avesse lasciata indimostrata l'avrei capita anche da solo. In questo caso specifico in cui \(R'=\mathbb{Z}\), poi, \(\varphi\) non può essere che \(1\mapsto 1_R\); dovendo poi mandare in $R$ ogni \(X_i=\mathfrak{X}^{\epsilon_i}\) (\(\epsilon_i\) come sopra) quindi \(\Phi\) è ovviamente un omomorfismo di valutazione.
Ed aggiungo, che per valere la proprietà universale bisogna dimostrare che non posso esistere morfismi distinti da \(\displaystyle\Phi\)!
Riesci a compiere quest'altro passo?
"j18eos":\(\infty\) grazie!!!!
Facendo questo passo ti mostrerò che esistono particolari applicazioni biettive...
"j18eos":OK!
Se ti suona qualche campanello di allarme: non correre avanti!
"j18eos":L'ho scelto così, sì, così mi sembra di dare un senso a quanto dice il Bosch perché, così facendo, ho che per ogni \(x\in R^{\mathbb{N}_0}\) esiste uno ed un solo \(\Phi\) tale che \(\Phi(\mathfrak{X}^{\epsilon_0}):=\Phi(X_0)=x_0,\Phi(\mathfrak{X}^{\epsilon_1}):=\Phi(X_1)=x_1,...\), dove scrivo \(x_i\) per l'$i$-esima componente di $x$, cioè per \(x^{\epsilon_i}\), e analogamente $X_i$ per la rispettiva componente di \(\mathfrak{X}\).
Insomma quel \(\displaystyle\sigma\) dipende da \(\displaystyle x\)?!
"j18eos":Quindi avrei dovuto scrivere \(\sigma:\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\to R\) con le parentesi attorno all'"esponente" \(\mathbb{N}_0\) perché \(\Phi(X_0^{\mu_0},X_1^{\mu_1},...)=x_0^{\mu_0}x_1^{\mu_1}...\) deve avere le \(\mu_i\) quasi tutte nulle? Non si può avere un prodotto infinito in $R$, cioè è scorretto considerare tale per esempio il limite di una produttoria \(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=0}^n a_i\) in $R=\mathbb{R}$?
Ti ricordo che le operazioni sono con finiti elementi...
Indipendentemente da questa scelta di $M$, mi sembrerebbe comunque che, con \(\sigma:\mathfrak{X}^{\mu}\mapsto x^{\mu}\), ho comunque che per ogni \(x\in R^{\mathbb{N}}\) esiste un solo omomorfismo tale che \(\Phi(\mathfrak{X}^{\mu})=x^{\mu}\) per ogni \(\mu\in M\) -sia che abbia ogni \(\mu\) componenti quasi tutte nulle sia che ne abbia infinite non nulle- e quindi un unico omomorfismo tale che \(\Phi(X_0)=x_0,\Phi(X_1)=x_1,...\) (qui sto ovviamente guardando \(\mu=(1,0,0,0,..)\), poi \(\mu=(0,1,0,0,...)\) e così via); e, cosa non da poco per quanto mi ci sono arrovellato, compatibile, mi parrebbe, con una possibile interpretazione dell'identificazione proposta dal Bosch.
\(\aleph_1\) grazie!!!
Tecnicamente i limiti tu li puoi calcolare ove tu sappia definire il limite di una successione...
Per il resto, fammi trovare la forza di scrivere. : )
Per il resto, fammi trovare la forza di scrivere. : )
Vediamo un pò; fissiamo gli anelli, i monoidi e i morfismi opportuni:
[list=1]
[*:130k0jpr] il monoide \(\displaystyle M\) è il monoide \(\displaystyle\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\) delle successioni di numeri naturali quasi ovunque (q.o.) nulle rispetto alla somma componente per componente;[/*:m:130k0jpr]
[*:130k0jpr] l'anello \(\displaystyle R^{\prime}\) è l'anello dei numeri interi \(\displaystyle\mathbb{Z}\);[/*:m:130k0jpr]
[*:130k0jpr] il morfismo di monoidi \(\displaystyle\sigma:(a_n)\in\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\to ?\in R\) non è assegnato a priori;[/*:m:130k0jpr]
[*:130k0jpr] il morfismo di anelli \(\displaystyle\varphi:\mathbb{Z}\to R\) è giustamente definito dalla posizione \(\displaystyle\varphi\left(1_{\mathbb{Z}}\right)=1_R\)![/*:m:130k0jpr][/list:o:130k0jpr]
Richiamato ciò, sappiamo che esiste l'applicazione iniettiva:
\[
...:\sigma\in\hom_{\mathbf{Mon}}\left(\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)},R\right)\to\Phi=\sum\varphi\cdot\sigma\in\hom_{\mathbf{CRing1}}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R)
\]
non ho capito se nell'op questa la chiami \(\displaystyle f\) oppure \(\displaystyle W(f)\)...
Poi mi sono perso!
Se mi puoi chiarire che trasformazione naturale devi costruire, oppure mi scrivi se qualcosa non ti è chiaro!
[list=1]
[*:130k0jpr] il monoide \(\displaystyle M\) è il monoide \(\displaystyle\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\) delle successioni di numeri naturali quasi ovunque (q.o.) nulle rispetto alla somma componente per componente;[/*:m:130k0jpr]
[*:130k0jpr] l'anello \(\displaystyle R^{\prime}\) è l'anello dei numeri interi \(\displaystyle\mathbb{Z}\);[/*:m:130k0jpr]
[*:130k0jpr] il morfismo di monoidi \(\displaystyle\sigma:(a_n)\in\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\to ?\in R\) non è assegnato a priori;[/*:m:130k0jpr]
[*:130k0jpr] il morfismo di anelli \(\displaystyle\varphi:\mathbb{Z}\to R\) è giustamente definito dalla posizione \(\displaystyle\varphi\left(1_{\mathbb{Z}}\right)=1_R\)![/*:m:130k0jpr][/list:o:130k0jpr]
Richiamato ciò, sappiamo che esiste l'applicazione iniettiva:
\[
...:\sigma\in\hom_{\mathbf{Mon}}\left(\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)},R\right)\to\Phi=\sum\varphi\cdot\sigma\in\hom_{\mathbf{CRing1}}(\mathbb{Z}[\mathfrak{X}],R)
\]
non ho capito se nell'op questa la chiami \(\displaystyle f\) oppure \(\displaystyle W(f)\)...
Poi mi sono perso!
Se mi puoi chiarire che trasformazione naturale devi costruire, oppure mi scrivi se qualcosa non ti è chiaro!
"j18eos":
non ho capito se nell'op questa la chiami \(\displaystyle f\) oppure \(\displaystyle W(f)\)...
Né l'una né l'altra cosa: $f$ è un generico omomorfismo di anelli che è oggetto della proposizione (6(iii)), che il Bosch dimostra appunto utilizzando l'identificazione che mi fapenare. \(W(f)\) è l'applicazione che manda ogni componente di un vettore di Witt nella sua immagine attraverso $f$.
Non mi sono preoccupato di dare un nome ad alcuna applicazione \(\sigma\mapsto\Phi\): ho solo associato ogni omomorfismo \(\Phi\), pensando alla successione delle sue immagini \((\Phi(X_0),\Phi(X_1),\Phi(X_2),...)\), ad una successione di \(R^{\mathbb{N}_0}\), perché i vettori di Witt sono proprio queste successioni, ma viste come elementi di un anello con somma e prodotto definiti in modo diverso dal consueto "componente per componente", cioè attraverso particolari polinomi.
Ho corretto il post di sopra, quello con la mia idea di interpretazione di questa "identificazione" e del diagramma commutativo che utilizza il Bosch per dimostrare la 6(iii), modificando il dominio di $\sigma$ come \(\mathbb{N}_0^{(\mathbb{N}_0)}\).
\(\infty\) grazie per tutto!!!
Ora non riesco a capire chi sia l'anello \(\displaystyle\mathbb{Z}[\mathfrak{X};\mathfrak{Y}]\)... non basta considerare un anello qualsiasi nel diagramma commutativo che hai richiamato più volte?
È l'anello dei polinomi a coefficienti interi nei due sistemi di variabili \(\mathfrak{X}\) e \(\mathfrak{Y}=(Y_i)_{i\in \mathbb{N}_0}\). La presenza di \(\mathfrak{Y}\) permette di definire gli equivalenti di somma e prodotto in \(W(R)\).
...intanto ne approfitto per augurare a te e a chiunque altro passi di qua felici feste!
...intanto ne approfitto per augurare a te e a chiunque altro passi di qua felici feste!
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