Ideali primi e massimali

[aleio11]

Ciao a tutti, c'è un modo o un criterio per caratterizzare ideali primi e massimali in

\(\displaystyle \mathbb{K}[X] \), \(\displaystyle \mathbb{K}[X,Y] \) con \(\displaystyle \mathbb{K} \) campo?

ed in anelli come

\(\displaystyle \mathbb{Z}[X] \) e \(\displaystyle \mathbb{Z}[X,Y] \) come ci si comporta?

Non vorrei poi esagerare ma ho anche molti subbi su strutture del tipo

\(\displaystyle \mathbb{K}[X^3,Y^4] \) dove \(\displaystyle \mathbb{K} \) è sempre un campo.

Grazie a tutti se potete darmi una mano:)

[Studente Anonimo]

Per [tex]\mathbb{Z}[X][/tex] e in generale per [tex]A[X][/tex] dove [tex]A[/tex] è un dominio euclideo credo che quello che trovi qui funzioni. Nel trattare [tex]K[X_1,...,X_n][/tex] ricorda il Nullstellensatz (cf. qui, corollario 1.8). [tex]K[X^a,Y^b][/tex] come anello è isomorfo a [tex]K[X,Y][/tex], quindi non hai problemi.

Invece su [tex]\mathbb{Z}[X,Y][/tex] al momento non mi viene in mente niente di definitivo.

[maurer]

Più in generale, nel caso di [tex]\mathbb Z[X,Y][/tex], mi viene da dire che ha dimensione di Krull 2 (in generale, se [tex]A[/tex] è noetheriano di dimensione n, allora [tex]A[X][/tex] ha dimensione n+1, anche se questo non è esattamente un teorema leggero da dimostrare). Di più, al momento, non saprei dire...