Ideali primi

[Gatto891]

Oggi mattinata algebrica...

Sia [tex]\mathcal A[/tex] un anello commutativo unitario e siano [tex]\mathcal I, J[/tex] ideali di [tex]\mathcal A[/tex].

1) Dimostrare che [tex]\mathcal IJ = \{ \sum_{i=1}^na_ib_i \: | \: a_i \in \mathcal I, b_i \in J \}[/tex] è un ideale di [tex]\mathcal A[/tex] contenuto in [tex]\mathcal I \cap J[/tex].

2) Dimostrare che se [tex]\mathcal I[/tex] e [tex]\mathcal J[/tex] sono ideali primi allora [tex]\mathcal IJ[/tex] è primo [tex]\displaystyle \Leftrightarrow[/tex] [tex]\mathcal J \subseteq \mathcal I[/tex] o [tex]\mathcal I \subseteq \mathcal J[/tex].


Per il punto (1) nessun problema, per il punto (2):

[tex]\Rightarrow )[/tex] Supponiamo (abuso di notazione) [tex]\exists \: i \in \mathcal I \smallsetminus \mathcal J[/tex] e [tex]j \in \mathcal J \smallsetminus \mathcal I[/tex], allora [tex]ij \in \mathcal IJ[/tex] ma [tex]i, j \notin IJ[/tex] (perchè dal punto (1) [tex]\mathcal IJ \subseteq \mathcal I \cap J[/tex]) quindi [tex]\mathcal IJ[/tex] non è primo.

[tex]\Leftarrow )[/tex] Qui buio, anche se in teoria appariva l'implicazione più facile... sopratutto non riesco a sfruttare l'ipotesi che [tex]\mathcal I, J[/tex] siano primi, che non ho ancora usato...

[Studente Anonimo]

"Gatto89":2) Dimostrare che se [tex]\mathcal I[/tex] e [tex]\mathcal J[/tex] sono ideali primi allora [tex]\mathcal IJ[/tex] è primo [tex]\displaystyle \Leftrightarrow[/tex] [tex]\mathcal J \subseteq \mathcal I[/tex] o [tex]\mathcal I \subseteq \mathcal J[/tex].

E' falso: prendi per esempio $A=ZZ$ e $I=J=(2)$.

[Gatto891]

Bene, mi fa piacere aver sbattuto la testa su qualcosa di falso

(Promemoria: ricordarsi la prossima volta di provare a confutare la tesi prima di dimostrarla)

Grazie mille Martino

Comunque per l'implicazione [tex](\Rightarrow)[/tex] la dimostrazione è a posto?

[Studente Anonimo]

"Gatto89":Comunque per l'implicazione [tex](\Rightarrow)[/tex] la dimostrazione è a posto?

Sì

[Gatto891]

Merci