Ideali primari
Ogni ideale primo è primario.
Dimostrazione: Sia $H$ è un ideale primo di un anello commutativo $A$. Per ogni coppia $(a,b)$ di elementi di $A$ si ha che se $ab \in H$ allora o $a\in H$ oppure $b \in H$ . Se $a \notin H$ segue necessariamente che $b=b^1 \in H$ , così $ H$ é primario.
Non sempre vale il viceversa, infatti:
Sia $p$ numero primo e $n\geq 2$ un intero, allora l’ideale $p^n \mathbb {Z} = (p^n)$ è ideale primario di $\mathbb {Z}$ ma non è primo. Infatti se consideriamo $3^2 \mathbb{Z}$ , costituito quindi da tutti i multipli di $3^2$ , si ha che $6 \cdot12=72 \in 3^2 \mathbb{Z}$ ma sia $6$ che $12$ non appartengono a $3^2 \mathbb{Z}$ , e quindi non è ideale primo; risulta invece ideale primario in quanto $6^2 \in 3^2\mathbb{Z}$.
Sono riuscita a dimostrarlo solo con un esempio. Riuscireste ad aiutarmi a date una dimostrazione più generale?
Dimostrazione: Sia $H$ è un ideale primo di un anello commutativo $A$. Per ogni coppia $(a,b)$ di elementi di $A$ si ha che se $ab \in H$ allora o $a\in H$ oppure $b \in H$ . Se $a \notin H$ segue necessariamente che $b=b^1 \in H$ , così $ H$ é primario.
Non sempre vale il viceversa, infatti:
Sia $p$ numero primo e $n\geq 2$ un intero, allora l’ideale $p^n \mathbb {Z} = (p^n)$ è ideale primario di $\mathbb {Z}$ ma non è primo. Infatti se consideriamo $3^2 \mathbb{Z}$ , costituito quindi da tutti i multipli di $3^2$ , si ha che $6 \cdot12=72 \in 3^2 \mathbb{Z}$ ma sia $6$ che $12$ non appartengono a $3^2 \mathbb{Z}$ , e quindi non è ideale primo; risulta invece ideale primario in quanto $6^2 \in 3^2\mathbb{Z}$.
Sono riuscita a dimostrarlo solo con un esempio. Riuscireste ad aiutarmi a date una dimostrazione più generale?
Risposte
Cosa intendi?
vorrei dimostrare in maniera generica che $p^n \mathbb {Z} = (p^n)$ è ideale primario!
Allora dimostralo.
Già ... chiedevo aiuto perché evidentemente ho trovato delle difficoltà!
Ok, allora posta cosa hai provato a fare e si guarda insieme.
Praticamente l'hai già dimostrato. Guarda l'esempio che hai portato e usa delle lettere.
dimostriamo che l'ideale $H=(p^n)$ è primario con $p$n primo:
osserviamo che l'ideale $H$ è ideale proprio in quanto $p^n$ non è invertibile.
Se $ab \in (p^n)$, con $a,b \in \mathbb Z$, allora esiste $c \in \mathbb Z$ tale che $ab=p^nc$ da cui $ab=p(p^{n-1}c)$ cioè $p$ divide $ab$.
Essendo $p$ primo esso divide $a$ oppure divide $b$. L'anello $\mathbb Z$ è commutativo per cui $p^n$ divide $a^n$ e così $a^n \in H$ oppure $p^n$ divide $b^n$ e così $b^n \in H$. abbiamo così provato che $H$ è primario.
Non riesco a dimostrare che $H=(p^n)$ non è primo. Ho provato in questo modo:
Se $ab \in (p^n)$ allora esiste $c \in \mathbb Z$ tale che $ab=p^nc$ allora $a=p^n c b^{-1}$ ma $b^{-1}\notin mathbb Z$ (ma questo può non essere sempre vero perché $b$ potrebbe essere uno dei due unici elementi invertibili di $\mathbb Z$ cioè $b=-1$) così da poter affermare che sia $a$ che $b $ non appartengono a $(p^n)$ perché $p^n$ non li divide.
HELP
osserviamo che l'ideale $H$ è ideale proprio in quanto $p^n$ non è invertibile.
Se $ab \in (p^n)$, con $a,b \in \mathbb Z$, allora esiste $c \in \mathbb Z$ tale che $ab=p^nc$ da cui $ab=p(p^{n-1}c)$ cioè $p$ divide $ab$.
Essendo $p$ primo esso divide $a$ oppure divide $b$. L'anello $\mathbb Z$ è commutativo per cui $p^n$ divide $a^n$ e così $a^n \in H$ oppure $p^n$ divide $b^n$ e così $b^n \in H$. abbiamo così provato che $H$ è primario.
Non riesco a dimostrare che $H=(p^n)$ non è primo. Ho provato in questo modo:
Se $ab \in (p^n)$ allora esiste $c \in \mathbb Z$ tale che $ab=p^nc$ allora $a=p^n c b^{-1}$ ma $b^{-1}\notin mathbb Z$ (ma questo può non essere sempre vero perché $b$ potrebbe essere uno dei due unici elementi invertibili di $\mathbb Z$ cioè $b=-1$) così da poter affermare che sia $a$ che $b $ non appartengono a $(p^n)$ perché $p^n$ non li divide.
HELP
però $\mathbb Z$ è anello principale dunque fattoriale per questo ogni suo elemento o è irriducibile o è prodotto di elementi irriducibili, che sono non invertibili.
Prova a pensare a questo: $p * p^2 = p^3 in (p^3)$, ma $p$ e $p^2$ non stanno in $(p^3)$.
si l'esempio l'ho capito $p^3$ non divide né $p^2$ né $p$ 
mi serve una motivazione teorica! la mia è errata?
mi serve una motivazione teorica! la mia è errata?
Come si dimostra che un ideale NON è primo?
mi dispiace ma non riesco a capire come fare 
"otta96":
Come si dimostra che un ideale NON è primo?
devo dimostrare che $p^n$ non è irriducibile?
Devi trovare due elementi espliciti $a,b$ tali che $ab in (p^n)$ ma $a,b$ non appartengono a $(p^n)$.
"Martino":
Devi trovare due elementi espliciti $a,b$ tali che $ab in (p^n)$ ma $a,b$ non appartengono a $(p^n)$.
$p^n \in (p^n)$ essendo $\mathbb Z$ principale e quindi fattoriale $p^n$ o è irriducibile o è prodotto di elementi irriducibili. Allora $p^n=pp^{n-1}$ ma $p^n$ non divide né $p$ né $p^{n-1}$
L'hai scritto tu stessa: $p^n=p * p^{n-1}$. Ti sembra irriducibile?
"Martino":
L'hai scritto tu stessa: $p^n=p * p^{n-1}$. Ti sembra irriducibile?
Hai ragione infatti stavo modificando Il messaggio! Quindi va bene questo ragionamento?
$p^n=pp^{n-1}$ ma $p^n$ non divide né $p$ né $p^{n-1}$Questo va bene sì.
"margherita.ciampi":
[quote="Martino"]Devi trovare due elementi espliciti $a,b$ tali che $ab in (p^n)$ ma $a,b$ non appartengono a $(p^n)$.
$p^n \in (p^n)$ essendo $\mathbb Z$ principale e quindi fattoriale $p^n$ o è irriducibile o è prodotto di elementi irriducibili.[/quote]
e questo?
Scusa mi sono perso, questo cosa? Rifai tutto il discorso dall'inizio, non capisco cosa stai chiedendo.
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