Ideali primari

[margherita.ciampi]

Ogni ideale primo è primario.

Dimostrazione: Sia $H$ è un ideale primo di un anello commutativo $A$. Per ogni coppia $(a,b)$ di elementi di $A$ si ha che se $ab \in H$ allora o $a\in H$ oppure $b \in H$ . Se $a \notin H$ segue necessariamente che $b=b^1 \in H$ , così $ H$ é primario.
Non sempre vale il viceversa, infatti:

Sia $p$ numero primo e $n\geq 2$ un intero, allora l’ideale $p^n \mathbb {Z} = (p^n)$ è ideale primario di $\mathbb {Z}$ ma non è primo. Infatti se consideriamo $3^2 \mathbb{Z}$ , costituito quindi da tutti i multipli di $3^2$ , si ha che $6 \cdot12=72 \in 3^2 \mathbb{Z}$ ma sia $6$ che $12$ non appartengono a $3^2 \mathbb{Z}$ , e quindi non è ideale primo; risulta invece ideale primario in quanto $6^2 \in 3^2\mathbb{Z}$.

Sono riuscita a dimostrarlo solo con un esempio. Riuscireste ad aiutarmi a date una dimostrazione più generale?

[margherita.ciampi]

"margherita.ciampi":[quote="Martino"]Devi trovare due elementi espliciti $a,b$ tali che $ab in (p^n)$ ma $a,b$ non appartengono a $(p^n)$.

$p^n \in (p^n)$ essendo $\mathbb Z$ principale e quindi fattoriale $p^n$ o è irriducibile o è prodotto di elementi irriducibili. Allora $p^n=pp^{n-1}$ ma $p^n$ non divide né $p$ né $p^{n-1}$[/quote]

questo è il mio ragionamento! è tutto corretto?

[Studente Anonimo]

Sì ma tutta questa frase che hai scritto è superflua:

"margherita.ciampi":$p^n \in (p^n)$ essendo $\mathbb Z$ principale e quindi fattoriale $p^n$ o è irriducibile o è prodotto di elementi irriducibili.

Cioè stai scrivendo delle cose vere ma non capisco perché le scrivi.

[margherita.ciampi]

Ah ok! Grazie davvero per l’aiuto