Ideali massimali di Z

[Edhel1]

Salve a tutti,
devo provare che l' intersezione di tutti gli ideali massimali di $ ZZ $ è {0}.
Allora io so che gli ideali massimali di $ZZ$ sono gli ideali del tipo $ZZp$ con p numero primo, ma non riesco a provare che la loro intersezione è 0 !

[gugo82]

La butto lì.

Se, per assurdo, [tex]m\in \bigcap_{\text{$p$ primo}} p\mathbb{Z}[/tex], allora per ogni primo [tex]$p$[/tex] esiste un numero [tex]$q$[/tex] tale che [tex]$m=pq$[/tex]... E questo è un po' strano, no?

[Edhel1]

Si è un pò strano, ma alla fine chi mi dice che non esiste un numero che è il prodotto di tutti i numeri primi e che quindi appartiene a tutti questi ideali???

[gugo82]

Il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica, ad esempio?

[Edhel1]

Ma il teorema fondamentale dell' aritmetica non mi dice che un numero maggiore di 1 o è primo o può essere espresso nel prodotto di numeri primi in modo unico, ma mica mi dice che non esiste un numero che è prodotto di tutti i numeri primi???

[gugo82]

Sarà che a me l'hanno raccontato in maniera diversa, ma il Teorema Fondamentale non dice anche che la fattorizzazione è fatta da un numero finito di termini?!?

Ma ad ogni modo, come fa ad essere finito il prodotto di tutti i numeri primi?
Per assurdo, supponiamo che [tex]P=\prod_{n=1}^{+\infty} p_n[/tex] (prodotto di tutti i numeri primi) sia un numero; ma allora [tex]$P>p_n$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex], dunque [tex]$P>m$[/tex] per ogni [tex]$m\in \mathbb{N}$[/tex]; ma ciò è assurdo.

[claudiamatica]

dice anche che la fattorizzazione (unica a meno del segno e dell'ordine dei fattori) è data da un numero finito di primi

[Edhel1]

Ok grazie mille, adesso mi è tutto più chiaro, scusate ma sto sotto stress d' esame!!!