Ideali massimali di \(k[X,Y]\)

[Sk_Anonymous]

Al paragrafo 1.5 di Undergraduate Commutative Algebra, Miles Reid c'è una proposizione di cui non riesco bene a capacitarmi della dimostrazione. La proposizione è la seguente:

"Miles Reid":Proposition. The prime ideals of \(k[X,Y]\) are as follow:

0; \( (f) \) for irreducible \( f(X,Y) \in k[X,Y] \); and maximal ideals \(\mathfrak{m} \).

Moreover, each maximal ideal is of the form \(\mathfrak{m} = (p,g)\) where \(p= p (X) \in k [X] \) is an irreducible polynomial in \(X\) (not a unit), and \(g \in k[X,Y]\) a polynomial whose reduction modulo \(p\) is irreducible element \(\bar{g} \in (k[X]/(p)) [Y] \); therefore the quotient \(k[X,Y]/ \mathfrak{m} \) is a finite algebraic extension field of \(k\).

La dimostrazione viene articolata in tre steps, e procede come segue:

Proof. Write \(B=k[X]\) and \(K = k (X) \); \(B\) is a PID and \(K\) its field of fractions, and the ring under study is \(A = B[Y]\). If a prime ideal \(P\) of \(B[Y]\) is \(0\) or principal then there is nothing to prove, so that I can assume that P contains two elements \(f_1, f_2 \) with no common factor in \(B[Y]\).

Step 1. I claim that \(f_1, f_2\) also have no common fractor in \(K[Y]\). [...]
Step 2. The ideal of \(A\) generated by \(f_1\) and \(f_2\) has nonzero intersection with \(B\), that is, \( (f_1, f_2 ) \cap B \ne \varnothing\). [...]
Step 3. If \(P\) is a prime ideal of \(A = B[Y]\) then \(B \cap P \) is a prime ideal of \(B\). We have seen in Steps 1-2 that if \(P\) is not principal then \(B \cap P \ne 0\). Now \(B\) is a PID, so that any nonzero prime ideal is maximal. The proposition follows from this.

Ora, non solo non capisco bene dove si utilizzi lo Step 1, ma non riesco nemmeno a dedurre come the proposition follows from this. Le osservazioni che ho fatto sono le seguenti: se \(i: B \hookrightarrow B[Y]\) è immersione e \(\mathfrak{m} \subset B[Y]\) è ideale massimale, allora come dice lui \(\mathfrak{m} \supset i^{-1} ( \mathfrak{m} ) = B \cap \mathfrak{m} \ne \varnothing\) è primo, e siccome \(B\) è un PID è anche massimale. Sarà pertanto della forma \(B \cap \mathfrak{m} = (p(X)) \) con \(p\) irriducibile. Da questo sembrebbe potersi dedurre la forma di \(\mathfrak{m}\), ma al momento non riesco a capire perché \(\mathfrak{m}\) sia proprio nella forma \( (p,g)\) come da enunciato... bisogna forse studiare/considerare un qualche ideale "collegato" a \(\mathfrak{m}\) dentro \((B / (B \cap \mathfrak{m}))[Y]\)?

Ringrazio.

[_fabricius_1]

Il primo passo viene usato nel secondo, quando dice che \(\operatorname{hcf}(f_1, f_2)=1\) (sta considerando il massimo comun divisore in $K[Y]$).

Passando al punto tre, hai cominciato bene: è un fatto generale che la controimmagine di un primo è un primo per qualsiasi omomorfismo di anelli. Se poi passi al quoziente per l'ideale generato da $p$ in $A$ ottieni proprio \( (k[X]/(p)) [Y]\) (anche questo è un fatto piuttosto generale).[nota]Se A è un anello e \(\mathfrak{a}\) un suo ideale allora l'ideale generato da \(\mathfrak{a}\) in $A[X]$ è costituito dai polinomi a coefficienti in \(\mathfrak{a}\), denotiamolo \(\mathfrak{a}[X]\). Si ha allora un isomorfismo \(A[X]/\mathfrak{a}[X]\cong \left(A/\mathfrak{a}\right)[X]\).[/nota]

Ora, \( (k[X]/(p)) [Y]\) è un dominio a ideali principali, esiste dunque \(q\in \mathfrak{m}\) la cui immagine \( (k[X]/(p)) [Y]\) generi l'immagine di \(\mathfrak{m}\) in \( (k[X]/(p)) [Y]\), che è un ideale massimale di \( (k[X]/(p)) [Y]\). Perciò l'immagine di $q$ è irriducibile e si vede facilmente che \(\mathfrak{m}=(p,q)\).

[Sk_Anonymous]

Intanto ti ringrazio. Sono piuttosto arrugginito sugli anelli di polinomi, quindi ti faccio ancora qualche domanda.
Mi sembra che tu mi stia dicendo di considerare \( k[X][Y] / (p )\) che risulta essere isomorfo a \((k[X]/(p))[Y]\); siccome \((p)\) è massimale in \(k[X]\), \(k[X]/(p)\) è campo e quindi \((k[X]/(p))[Y]\) è un PID. E fin qui tutto ok. Traballo sul seguito: mi par di capire che ci sia da studiare l'immagine di \(\mathfrak{m}\) tramite mappa ovvia \[ \varphi: k[X][Y] \to k[X][Y]/(p) \cong (k[X]/(p))[Y]\]e da dimostrare che \(\varphi ( \mathfrak{m})\) è ideale (1), massimale (2) e che un suo generatore è \(\varphi(q)\) con \(q \in \mathfrak{m}\) (3). Dico bene o sto svalvolando? Infine, amesso (e non concesso) di non aver detto empietà, come si conclude?

[_fabricius_1]

Ti consiglierei di non usare il simbolo $(p)$ per indicare due ideali diversi (cioè l'ideale generato da $p$ in $k[X]$ e quello generato di $k[X,Y]$).

Ad ogni modo, in generale, se hai un omomorfismo di anelli \( \varphi \colon A \rightarrow B\) suriettivo allora l'immagine di un ideale di $A$ è un ideale di $B$. C'è di più gli ideali di $B$ sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali di $A$ che contengono il nucleo di $\varphi$ (corrispondenza biunivoca associa a ogni ideale di $B$ la sua controimmagine in $A$ e ad ogni ideale di $A$ contenente il nucleo associa la sua immagine in $B$). Inoltre la corrispondenza manda ideali primi in ideali primi e ideali massimali in ideali massimali. Questo risultato va sotto il nome di teorema di corrispondenza e di solito si trova dimostrato in mezzo ai teoremi d'isomorfismo o subito dopo. Ciò prova (1).

Ora \((k[X]/(p))[Y]\) è un PID, quindi l'immagine di \(\mathfrak{m}\) è un ideale principale, diciamo generato da $q'$. Ora, se $q in A$ è tale che \(\varphi(q)=q'\) allora \(q\in \mathfrak{m}\) (in virtù del teorema di corrispondenza). Infine, se \(f\in \mathfrak{m}\) allora la sua immagine in \((k[X]/(p))[Y]\) è della forma \(\varphi(f)=aq\), cioè $f$ è congruo ad $aq$ modulo $p$, quindi $f=aq+bp\in (p,q)$.