Ideali e ideali principali
Sto rivendendo un pò la teoria relativa ai polinomi, e nella mia dispensa si parla di ideali principali come presupposto alla divisione euclidea tra polinomi.
Verificando in diversi testi ho che la definizione di ideale è la seguente:
Sia $(A,+,*)$ un anello, e sia $I$ un sottoanello di $A$. $I$ è un ideale se $AAa in A$, $EEi in I$ tale che $i*a in I$ e $a*i in I$.
Nella mia dispensa invece trovo la seguente definizione:
Iniziamo dal concetto di ideale, che è comunque una delle nozioni basilari
della teoria degli anelli. Così viene chiamato un sottogruppo additivo $I$ di un
anello $A$ tale che se $x in I$ e $a in A$ allora $ax, xa in I$.
Quello che non mi torna è l'indicazione di sottogruppo additivo. Perchè dice che è additivo e poi usa la notazione moltiplicativa? Tanto che poi indica anche un esempio di sottogruppo dell'anello degli interi $(ZZ,+,*)$ definito dai multipli di un intero $n$: $I:=(n)={nh | h in ZZ}$, che tra l'altro è un ideale principale in quanto generato da un solo elemento.
Verificando in diversi testi ho che la definizione di ideale è la seguente:
Sia $(A,+,*)$ un anello, e sia $I$ un sottoanello di $A$. $I$ è un ideale se $AAa in A$, $EEi in I$ tale che $i*a in I$ e $a*i in I$.
Nella mia dispensa invece trovo la seguente definizione:
Iniziamo dal concetto di ideale, che è comunque una delle nozioni basilari
della teoria degli anelli. Così viene chiamato un sottogruppo additivo $I$ di un
anello $A$ tale che se $x in I$ e $a in A$ allora $ax, xa in I$.
Quello che non mi torna è l'indicazione di sottogruppo additivo. Perchè dice che è additivo e poi usa la notazione moltiplicativa? Tanto che poi indica anche un esempio di sottogruppo dell'anello degli interi $(ZZ,+,*)$ definito dai multipli di un intero $n$: $I:=(n)={nh | h in ZZ}$, che tra l'altro è un ideale principale in quanto generato da un solo elemento.
Risposte
La tua dispensa è corretta. Infatti le due condizioni sono separate, cioè un ideale è un sottogruppo additivo (e fin qui ci siamo) e in più siccome siamo in un anello diciamo anche come si deve comportare rispetto all'altra operazione e cioè in quel modo là.Se ci pensi rispetto alla moltiplicazione si comporta come 'elemento assorbente' , e infatti gli ideali sono definiti in modo tale che sia possibile quozientare rispetto ad essi (ecco perchè in particolare si richiede che sia un sottogruppo additivo, altrimenti non potrei nemmeno provare a quozientare!)
Sono due definizioni equivalenti. Infatti nella prima dice che $I$ è un sottoanello, quindi in particolare è un sottogruppo additivo (definizione di sottoanello). Perciò ho dimostrato che la prima definizione implica la seconda.
La seconda definizione manca apparentemente di dire che $I$ è chiuso per la moltiplicazione rispetto alla prima definizione, ma questo deriva dalla proprietà principale dell'ideale: infatti, se $h,g \in I$, allora in particolare $h\in A$. Dunque per la proprietà, $g\cdot h \in I$, quindi $I$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
Paola
La seconda definizione manca apparentemente di dire che $I$ è chiuso per la moltiplicazione rispetto alla prima definizione, ma questo deriva dalla proprietà principale dell'ideale: infatti, se $h,g \in I$, allora in particolare $h\in A$. Dunque per la proprietà, $g\cdot h \in I$, quindi $I$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
Paola
Non avevo fatto caso alla differenza delle due definizioni (sottoanello vs sottogruppo).
Grazie per le spiegazioni
Grazie per le spiegazioni
Anche io in prima lettura mi ero lasciata sfuggire quale fosse la differenza 
.
Paola
.Paola
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