Ideali e anelli quoziente.

[aleio1]

Salve, ho un problema. Non riesco a capire perchè gli elementi di un anello quoziente [tex]A/I[/tex] con [tex]I[/tex] ideale sono tutti della forma [tex]x+\alpha[/tex] con [tex]x\in A[/tex] e [tex]\alpha\in I[/tex].
E' una cosa un po' stupida, ma non capisco perchè proprio questa forma. Perchè non (sempre con le stesse convenzioni) [tex]x\cdot\alpha[/tex]??

[Paolo902]

Mah, io gli elementi del quoziente non li indico con $x+alpha$ come fai tu.

Se $I$ è l'ideale, gli elementi di $A//I$ sono $x+I$ dove $x in A$ (se poi $x in I$ allora individui il laterale nullo: $x+I=I$).

In ogni caso, si indicano così per convezione: sono semplicemente delle classi di equivalenza, non dimenticarlo.

$x+I={y " tali che " xsigmay}$

dove la relazione (d'equivalenza) $sigma$ è definita così: $x-y in I$ o il che è lo stesso $x-y=i " con " i in I$ o ancora $x=i+y$.
Questo significa che in una stessa classe ci stanno tutti gli elementi che differiscono dal rappresentante per un elemento di $I$.



NB: ovviamente la notazione è additiva perchè in un anello $(A,+,*)$ sai che $(A,+)$ è gruppo abeliano (e quindi i laterali di ogni sottogruppo coincidono, visto che ogni sottogruppo è normale); non sai nulla, invece, circa $(A,*)$ (se non sei in un campo non tutti gli elementi hanno inverso moltiplicativo).

[aleio1]

Hai ragione, scusa avevo completamente sbagliato notazione:)