Ideali

[anto_zoolander]

Mi è venuta in mente questa cosa, e non trovandola da nessuna parte, vorrei sapere se fosse corretta.

siano $R,S$ anelli e $RtimesS$ gruppo prodotto diretto di $R,S$

se $A$ è ideal di $R,S$ allora esistono $I,J$ ideali di $R,S$ rispettivamente tale che $ItimesJ=A$

consideriamo gli insiemi $I={x in R: (x,0_S) in A}$ e $J={y in R: (0_R,y)in A}$

Intanto $I,J$ sono ideali di $R,S$ mostriamolo solo per $I$

siano $r in R, i in I$ allora $(r,0) in RtimesS$ e $(i,0) in A => (r,0)*(i,0)=(ri,0) in A$ ma allora per definizione di $I$ sarà $r*i in I$ dunque $I$ è ideale di $R$

mostriamo che coincidono.

se $x in ItimesJ$ allora $x=(a,b)$ con $a in I$ e $b in J$ ma allora per definizione dei due ideali si avrà che $(a,0) in A$ e $(0,b) in A$ ed essendo $A$ sottogruppo anche la somma vi apparterrà quindi $(a,b) In A$

viceversa basta prendere $x in A$ che sarà $x=(a,b)$ per $a,b in R,S$ chiaramente $(a,0) in I$ e $(0,b) in J$

in particolare vorrei sapere se è ben giustificata la riga in grassetto sopra di questa, oppure se si potesse far di più.

[killing_buddha]

A parte un paio di refusi, il claim è giusto (se gli anelli sono unitari, altrimenti è falso) ma non si dimostra così.

1. L'immagine di un ideale del prodotto mediante un epimorfismo di anelli è un ideale del fattore.
2. La proiezione canonica su R quindi manda A in un ideale di R, e la proiezione canonica di S manda A in un ideale di S. Chiama questi ideali, rispettivamente, I e J.
3. Dimostra che ora A contiene I J (l'altro contenimento è ovvio).

[anto_zoolander]

Non mi viene in mente il perchè degli ideali debbano essere unitari, puoi deludidarmi?

Ho esame tra due giorni quindi voglio essere pronto a tutto

poi ci sono due cose tecniche che vorrei chiarire sempre in vista dell'esame.
Quindi vorrei sapere se siano corrette con dimostrazioni annesse, sono brevi.

prima
$G$ è un gruppo e $H$ sottogruppo di $G$ e $N$ normale in $G$
se $N subseteqH$ allora $N$ è normale in $H$

dim
se $xN=Nx,forallx in G$ si avrà anche che $y in H => y in G => yN=Ny$

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seconda
$R$ anello e $S$ sottoanello di $R$ e $I$ ideale di $R$
se $IsubseteqS$ allora $I$ è ideale di $S$

dim
chiaramente $I$ è sottogruppo
siano $i in I, s in S => i in I, s in R => is in I wedge si in I$

diciamo che questa viene dal fatto che alla fine significa semplicemente che l'immagine dell'operazione ristretta a $StimesI$ è contenuta in $I$ e questo è vero poichè $StimesIsubseteqRtimesI$

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terza
$R$ anello e $A,I$ ideale allora sono anche ideali di $A+I$ e se $I subseteqA$ allora $A+I=A$ in particolare $(A+I)/I=A/I$(banalmente)

dim
la prima è ovvia perchè $A,I subseteqA+I$ e quindi per quando detto prima sono ideali di $A+I$
poi se $IsubseteqA$ allora:
$x in A+I => x=a+i, a in A, i in I$ ma $i in I=> i in A => (a+i) in A$ il viceversa è banale

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quest'ultima mi serviva semplicemente per il teorema di corrispondenza visto che solitamente gli ideali in considerazione sono quelli che contengono il nucleo poichè dato $pi:R->R/I$ con $R$ anello ed $I$ ideale di $R$ si avrà che il nucleo dell'epimorfismo sarà $I$ e pertanto tutti gli ideali di $R/I$ sono dati dall'insieme

$X={(A+I)/I=A/I : IsubseteqAleqR}$ con $leq$ intendo ideale

di fatto per esempio tutti gli ideali di $ZZ_n$ sono del tipo ${(kZZ)/(nZZ): k|n}$ poichè gli ideali di $ZZ$ contenenti $nZZ$ sono tutti e soli quelli con $k$ che divide $n$

poi vi risparmio l'ultima che sostanzialmente è identica sui sottogruppi normali

[killing_buddha]

Non mi viene in mente il perchè degli ideali debbano essere unitari.

Non gli ideali, gli anelli. Non ci sono ideali unitari che non siano tutto l'anello.

prima
$G$ è un gruppo e $H$ sottogruppo di $G$ e $N$ normale in $G$
se $N subseteqH$ allora $N$ è normale in $H$

$N$ è fissato dal coniugio per tutti gli elementi di $G$; a fortiori, è fissato dal coniugio per tutti gli elementi di $H$.

seconda
$R$ anello e $S$ sottoanello di $R$ e $I$ ideale di $R$
se $IsubseteqS$ allora $I$ è ideale di $S$

Stessa idea di sopra.

terza
$R$ anello e $A,I$ ideale allora sono anche ideali di $A+I$ e se $I subseteqA$ allora $A+I=A$ in particolare $(A+I)/I=A/I$(banalmente)

Sì.

[anto_zoolander]

Perfetto.
Prendo per buono che comunque siano tutte corrette(però preferisco vederlo come da te consigliato)