Ideali

[Pierlu11]

Qualcuno può aiutarmi a risolvere questo esercizio?

Sia $ phi:ZZ[x]->ZZ_2 $ tale che $ f(x)|-> f(0) $ .
a) Mostrare che $ kerphi $ è l'ideale generato da $ (2,x) $ .

Il motivo per cui è vero mi è chiaro teoricamente, ma non riesco a formalizzare... cioè vorrei un procedimento per risalire all'ideale ovvero passare da $ kerphi $ all'ideale senza sapere che è $ (2,x) $...

[Maci86]

$phi: ZZ[x] -> ZZ -> ZZ_2$
$ f(x)|->f(0)->f(0)_2$
Abbiamo una funzione che prende un polinomio, ti rende il suo termine noto modulo 2.
$ker(phi):{f(x) in ZZ[x] : f(0)=_2 0}=$
$={f(x) in ZZ[x] : f(0)=2k$ $ exists k in ZZ}=$
$= {f(x) in ZZ[x] : f(0)-2k=0$ $ exists k in ZZ}=$
$= {f(x) in ZZ[x] : f(x)=xg(x)+2k$ $ exists k in ZZ, exists g(x) in ZZ[x]}=$
$= {f(x) in ZZ[x] : f(x)=xg(x)+2h(x)$ $ exists h(x) ,g(x) in ZZ[x]}=$
$= (2,x).$

[Pierlu11]

"Maci86":
${f(x) in ZZ[x] : f(0)-2k=0$ $ exists k in ZZ}=$
$= {f(x) in ZZ[x] : f(x)=xg(x)+2k$ $ exists k in ZZ, exists g(x) in ZZ[x]}=$
$= {f(x) in ZZ[x] : f(x)=xg(x)+2h(x)$ $ exists h(x) ,g(x) in ZZ[x]}$

Potrei chiederti di spiegarmi meglio questi due passaggi?

[Maci86]

Per prima cosa, dobbiamo pensare cosa significa che $f(0)=0$, grazie a Ruffini, sappiamo che
$f(0)=0 Rightarrow f(x)= xg(x) exists g(x) in ZZ[x]$
Ma noi non vogliamo che sia per forza 0, lavorando in $ZZ_2$ ci basta che sia un numero pari, quindi:
$f(0)-2k=0 Rightarrow f(x)=xg(x)+2k$ $exists k in ZZ ^^ g(x) in ZZ[x]$
In particolare se noi invece di prendere $k in ZZ$ prendiamo i polinomi costanti in $ZZ[x]$ la descrizione di prima non cambia. Quindi possiamo fare il passo successivo:
$ {f(x) in ZZ[x]: f(x)= xg(x) + 2h(x) exists g(x),h(x) in ZZ[x]}$
Da qui in avanti dovrebbe essere molto lineare mostrare oltre ad esistere questi polinomi sono anche tutti...

[Pierlu11]

Capito... Grazie mille!