Ideale somma e isomorfismo di anelli

[mdoni]

Salve, vi pongo un paio di quesiti -probabilmente anche semplici, ma tant'è...

Nell'anello $ ZZ {::}_(11) [x] $ si considerino i polinomi:

$ f(x)=x^2+3 $ e $ g(x) = x^2-3x+1 $

indicati con $ I(x) $ e $ J(x) $ gli ideali generati rispettivamente da $ f(x) $ e $ g(x) $ , si determinino l'ideale somma $ I(x)+J(x) $ e il suo generatore monico.

Quindi, dire -motivando la risposta- se sono isomorfi gli anelli:

$ {ZZ {::}_(11) [x] }/ {I(x)} $ e $ {ZZ {::}_(11) [x] }/ {J(x)} $


Vi ringrazio per la gentilezza.

[blackbishop13]

comincia con il vedere se i polinomi sono irriducibili o meno, potresti scoprire qualcosa di utile.

[mdoni]

Dunque, f è irriducibile, così come g, poichè di II grado e senza radici nell'anello considerato (almeno credo, abbiate pietà)
Come procedere?

[blackbishop13]

perchè affermi che è senza radici?

[mdoni]

mm beh, direi perchè non esiste elemento $ z in ZZ{::}_(11) $ tale che $ f(z)-= [0]{::}_(11) $ , e così pure per g.
Dove sbaglio?

[blackbishop13]

l'unico modo per trovare ste radici è mettersi lì e fare tutti i conti uno alla volta. falli!

[mdoni]

Allora, hai ragione: Soltanto f è irriducibile, mentre riducendo i coefficienti modulo 11 si ottiene per g:

$ (x^2-3x+1)=(x+2)(x-5) $

Ora come procedo?