Ideale principale generato da un polinomio riducibile
Buongiorno,
sono un nuovo utente del forum e per questo motivo spero che mi scuserete se questo messaggio non è al 100% conforme alle regole del forum.
Detto questo, veniamo al quesito. Sia f(x) un polinomio di grado "n" riducibile, per esempio in R (campo dei numeri reali). Se f(x) ammette una radice "a" in R, si può scrivere: $ f(x) = (x - a)g(x) $ dove g(x) è ovviamente un polinomio di grado "n-1". Allora, l'ideale generato da f(x), cioè $ (f(x)) $, è da calcolare usando f(x) oppure usando il polinomio di grado 1 che compare nella riduzione di f(x), cioè come $ (x - a) $ ? ( Le parentesi indicano l'ideale principale; sulla simbologia in uso in Algebra e sulle sue ambiguità torneremo magari in un altro post).
Grazie per l'attenzione.
sono un nuovo utente del forum e per questo motivo spero che mi scuserete se questo messaggio non è al 100% conforme alle regole del forum.
Detto questo, veniamo al quesito. Sia f(x) un polinomio di grado "n" riducibile, per esempio in R (campo dei numeri reali). Se f(x) ammette una radice "a" in R, si può scrivere: $ f(x) = (x - a)g(x) $ dove g(x) è ovviamente un polinomio di grado "n-1". Allora, l'ideale generato da f(x), cioè $ (f(x)) $, è da calcolare usando f(x) oppure usando il polinomio di grado 1 che compare nella riduzione di f(x), cioè come $ (x - a) $ ? ( Le parentesi indicano l'ideale principale; sulla simbologia in uso in Algebra e sulle sue ambiguità torneremo magari in un altro post).
Grazie per l'attenzione.
Risposte
Per "calcolare" l'ideale devi usare proprio $f$, non $x-a$, sennò ti viene una cosa più grossa, ad esempio $x-a\in(x-a)$, ma in generale $x-a\notin(f)$.
Calcolare l'ho messo tra virgolette perché volevo precisare cosa intendo io per calcolare, così se intendiamo la stessa cosa bene, sennò per lo meno evitiamo incomprensioni.
Dato un ideale $I$ in $K[x]$ con $K$ campo, l'ideale è principale, diciamo generato da un certo $g$, allora per vedere se un generico polinomio $h$ sta in $I$ oppure no ti basta fare la divisione euclidea tra $h$ e $g$, se il resto ti viene $0$, allora $h\inI$, altrimenti no.
Calcolare l'ho messo tra virgolette perché volevo precisare cosa intendo io per calcolare, così se intendiamo la stessa cosa bene, sennò per lo meno evitiamo incomprensioni.
Dato un ideale $I$ in $K[x]$ con $K$ campo, l'ideale è principale, diciamo generato da un certo $g$, allora per vedere se un generico polinomio $h$ sta in $I$ oppure no ti basta fare la divisione euclidea tra $h$ e $g$, se il resto ti viene $0$, allora $h\inI$, altrimenti no.
OK, grazie, molto chiaro.
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