Ideale principale
Dimostrare che l'ideale $(X,Y)$ nell'anello $QQ[X,Y]$ non è principale.
Istintivamente mi viene subito da dire che siccome l'ideale è generato da 2 elementi allora non è principale.
Però se ci penso posso dire che $QQ[X,Y]$/$(X,Y)\cong QQ[X]$/$(X)$ e quindi è principale, sia perchè x è un solo elemento e sia pechè $QQ[X]$ è un PID. Come posso uscire sa questa situazione..?
Istintivamente mi viene subito da dire che siccome l'ideale è generato da 2 elementi allora non è principale.
Però se ci penso posso dire che $QQ[X,Y]$/$(X,Y)\cong QQ[X]$/$(X)$ e quindi è principale, sia perchè x è un solo elemento e sia pechè $QQ[X]$ è un PID. Come posso uscire sa questa situazione..?
Risposte
Quell'isomorfismo non mi pare per nulla vero, e non capisco come da esso discenda l'asserto. 
Più semplicemente: esiste \(p\in\mathbb{Q}[X;Y]\mid X/p;\,Y/p;\,p/X;\,p/Y\)?
Più semplicemente: esiste \(p\in\mathbb{Q}[X;Y]\mid X/p;\,Y/p;\,p/X;\,p/Y\)?
No...credo che non esiste....e quindi?
Si hai ragione ho scritto una cretinata...però quell'anello è isomorfo a $QQ[X]xQQ[Y]$..vero?mi può essere utile questa cosa?
Si hai ragione ho scritto una cretinata...però quell'anello è isomorfo a $QQ[X]xQQ[Y]$..vero?mi può essere utile questa cosa?
Quell'isomorfismo è vero! -_- [size=85](La prossima volta che ti rispondo di sera non mi calcolare.)[/size] Però ottieni così solo che \((X;Y)\) è un ideale massimale di \(\mathbb{Q}[X;Y]\): perché?
Tornando alla mia domanda, anzi, alla tua corretta risposta: come lo dimostri?
Tornando alla mia domanda, anzi, alla tua corretta risposta: come lo dimostri?
Ahahahah...
!non ti preoccupare...
Sinceramente non so dimostrarlo...sono andata un po' a intuito....
!non ti preoccupare...Sinceramente non so dimostrarlo...sono andata un po' a intuito....
La prima risposta è un teorema, hai come quoziente di un anello rispetto a un ideale un campo; per cui...
La seconda risposta si dimostra semplicemente utilizzando le definizioni!
La seconda risposta si dimostra semplicemente utilizzando le definizioni!
...per cui l'ideale è massimale. Ok ci sono ora.
Grazie mille....
Grazie mille....
Prego, di nulla!
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