Ideale principale
Ho molti dubbi circa questa richiesta:
Si consideri l'anello $A=ZZ[x]//I$ ove $I=(3,x^5-x^4+x^2+1,x^5+x^3-x-1)$
Stabilire se $A$ è un dominio e verificare se gli ideali di $A$ sono principali.
Ora $I$ per come è scritto non mi pare principale, infondo $ZZ[x]$ non è un $PID$.
Osservo inoltre che $x^5-x^4+x^2+1$ ammette come radice $-1$, quindi mi viene da concludere che $A$ non è un dominio.
Ora quali sono gli ideali di $A$ e come faccio a verificare se sono o no principali?
Grazie!
Si consideri l'anello $A=ZZ[x]//I$ ove $I=(3,x^5-x^4+x^2+1,x^5+x^3-x-1)$
Stabilire se $A$ è un dominio e verificare se gli ideali di $A$ sono principali.
Ora $I$ per come è scritto non mi pare principale, infondo $ZZ[x]$ non è un $PID$.
Osservo inoltre che $x^5-x^4+x^2+1$ ammette come radice $-1$, quindi mi viene da concludere che $A$ non è un dominio.
Ora quali sono gli ideali di $A$ e come faccio a verificare se sono o no principali?
Grazie!
Risposte
Il tuo quoziente è del tipo [tex]\mathbb{Z}[X]/(3,f(x),g(x))[/tex]. Per cominciare può aiutare osservare che
[tex]\mathbb{Z}[X]/(3,f(x),g(x)) \cong \mathbb{Z}_3[X]/(f(x),g(x))[/tex].
Ora le cose sono più facili perché [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] è un campo (quindi [tex]\mathbb{Z}_3[X][/tex] è un PID).
[tex]\mathbb{Z}[X]/(3,f(x),g(x)) \cong \mathbb{Z}_3[X]/(f(x),g(x))[/tex].
Ora le cose sono più facili perché [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] è un campo (quindi [tex]\mathbb{Z}_3[X][/tex] è un PID).
Grazie per la risposta Martino.
Allora se così stanno le cose l'ideale che cerco è quello generato dall' $MCD(f(x),g(x))$ che però se non ho sbagliato a fare i calcoli dovrebbe essere $(1)$.
Solo una cortesia, potresti spiegarmi perchè $ZZ[x]//(3,f(x),g(x)$ è isomorfo a $ZZ_3[x]//(f(x),g(x))$?
Immagino che derivi dal fatto che $ZZ//(n) \cong ZZ_n$ e pertanto considerando $(3,f(x),g(x))$ come prodotto degli ideali generato dal singolo elemento posso considerare questa uguaglianza. O no?
Grazie!
Allora se così stanno le cose l'ideale che cerco è quello generato dall' $MCD(f(x),g(x))$ che però se non ho sbagliato a fare i calcoli dovrebbe essere $(1)$.
Solo una cortesia, potresti spiegarmi perchè $ZZ[x]//(3,f(x),g(x)$ è isomorfo a $ZZ_3[x]//(f(x),g(x))$?
Immagino che derivi dal fatto che $ZZ//(n) \cong ZZ_n$ e pertanto considerando $(3,f(x),g(x))$ come prodotto degli ideali generato dal singolo elemento posso considerare questa uguaglianza. O no?
Grazie!
Penso di esserci arrivato compiutamente sfruttando i teoremi di isomorfismo per anelli.
"mistake89":Nel momento in cui ti metti modulo 3 quel MCD risulta essere [tex]d(x)=x^4+x^3-x^2-x+1[/tex]. Infatti [tex]f(x)=(x+1)d(x)[/tex] e [tex]g(x)=(x-1)d(x)[/tex].
Allora se così stanno le cose l'ideale che cerco è quello generato dall' $MCD(f(x),g(x))$ che però se non ho sbagliato a fare i calcoli dovrebbe essere $(1)$.
Hai ragione Martino, ho sbagliato a fare i calcoli, li ho ricontrollati!
Fattorizzando quel polinomio su $ZZ_3[x]$ ottengo che $d(x)=(x^2+2x+2)^2$ (ammesso sempre che non abbia sbagliato i conti), quindi gli ideali deriveranno dalla fattorizzazione di $d(x)$ quindi abbiamo che son tutti principali ed inoltre che $A$ non è un dominio.
Inoltre l'elemento $(x^2+2x+2)$ risulta essere nilpotente.
Corretto?
Inoltre l'elemento $(x^2+2x+2)$ risulta essere nilpotente.
Corretto?
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