Ideale primo

[Raphael1]

Ciao, qualcuno saprebbe aiutarmi a dedurre dalla seguente catene di inclusioni strette (che ho dimostrato) che l'ideale $q$ non è prodotto di ideali primi di $A=k[X,Y]$, dove $k$ è un campo.

la catene di in clusioni è la seguente:

$m^2 subset q subset m$, dove $q=(X,Y^2),m=(X,Y)$.

Grazie mille

[ficus2002]

"Raphael":[...] $q$ non è prodotto di ideali primi di $A=k[X,Y]$, dove $k$ è un campo [...]
[...] $m^2 subset q subset m$, dove $q=(X,Y^2),m=(X,Y)$ [...]

Se fosse $q=p_1 * \cdots * p_n$ con $p_i:i=1,\ldots,n$ ideali primi, allora $m=r(q)= r(p_1)\cap \cdots \cap r(p_n)=p_1\cap \cdots \cap p_n\subseteq p_i$ così $p_i=m$ per ogni $i$ perchè $m$ è massimale. Allora $q=m^n$ ma ciò contraddice $m^2 \subset q \subset m$.