Ideale primario

[balestrav]

Per dimostrare che l'ideale [tex](x^2,y^2)[/tex] è primario in [tex]k[x,y,z][/tex]
ho provato a vedere che nel quoziente gli zero-divisori sono nilpotenti, facendo molti
conti! A qualcuno viene in mente un modo più veloce applicabile a questo caso?Grazie

[maurer]

A me, non viene in mente niente. In attesa di qualche parere più illuminante, faccio notare che i conti non sono poi così tanti: ogni polinomio in [tex]k[x,y,z][/tex] può essere scritto in modo unico come [tex]a + f(x,y,z) x + g(y,z) y + h(z) z[/tex]. Ora se [tex](a + f_0(x,y,z) x + g_0(y,z) y + h_0(z) z)(b + f_1(x,y,z) x + g_1(y,z) y + h_1(z) z) \in (x^2,y^2)[/tex] otteniamo immediatamente [tex]a = b = 0[/tex] e necessariamente anche [tex]h_0(z) h_1(z) = 0[/tex] (per l'intelligente rappresentazione scelta), sicché forzatamente uno dei due elementi è nilpotente (il cubo in ogni caso apparterrà a [tex](x^2, y^2)[/tex]).

[balestrav]

beh, si quella rappresentazione è davvero intelligente!Grazie

[maurer]

In realtà ieri sera ho sbagliato. Era [tex]a b = 0[/tex]. Rimane allora un caso da considerare, quando [tex]a = 0, b \ne 0[/tex] e [tex]h_1(z) = 0[/tex] (e quello simmetrico). Svolgendo il prodotto troviamo la presenza dell'addendo [tex]b h_0(z) z[/tex], che però non può esserci perché non contiene né la x né la y. Pertanto otteniamo [tex]h_0(z) = 0[/tex] e la conclusione di prima è ancora valida.