Ideale non principale

[Antimius]

Si provi che in [tex]$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$[/tex] l'ideale [tex]$J=(3,\sqrt{-5}-1)$[/tex] non è principale.


Si tratta di mostrare che per ogni [tex]$x \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$[/tex], l'ideale [tex]$I_x=(x) \neq J$[/tex]. Quindi basta provare che non vale una delle due inclusioni.

Ho provato a ragionare sulle norme per tentare di trovare un elemento di [tex]$I_x$[/tex] che ha una norma diversa da quella di ogni elemento di [tex]$J$[/tex], qualsiasi sia [tex]$x$[/tex]; oppure viceversa.
Un elemento [tex]$a \in J$[/tex] è del tipo [tex]$3(a_1+\sqrt{-5}a_2)+(\sqrt{-5}-1)(b_1+\sqrt{-5}b_2)=3a_1-b_1-5b_2+\sqrt{-5}(3a_2+b_1-b_2)$[/tex] con [tex]$a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z}$[/tex]
Un elemento [tex]$b \in I_x$[/tex] è del tipo [tex]$(c_1+\sqrt{-5}c_2)(x_1+\sqrt{-5}x_2)$[/tex], dove [tex]$x=x_1+\sqrt{-5}x_2$[/tex], con [tex]$c_1,c_2,x_1,x_2 \in \mathbb{Z}$[/tex]

Posto [tex]$N(y+\sqrt{-5}z)=y^2+5z^2$[/tex], ho: [tex]$N(a)=(3a_1-b_1-5b_2)^2+5(3a_2+b_1-b_2)^2$[/tex] e [tex]$N(b)=(c_1^2+5c_2^2)(x_1^2+5x_2^2)$[/tex].

A questo punto, non so come confrontare le due norme. Qualcuno ha un'idea? magari anche un altro di modo di risoluzione dell'esercizio.

[maurer]

Beh, se facessimo vedere che [tex]3[/tex] e [tex]\sqrt{-5}-1[/tex] sono irriducibili in [tex]\mathbb Z[\sqrt{-5}][/tex] avremmo la tesi, no? Un elemento che divida contemporaneamente entrambi gli elementi dovrebbe essere per forza di cose invertibile; ma [tex]J[/tex] non coincide con [tex]\mathbb Z[\sqrt{-5}][/tex] e quindi non potrebbe essere principale...

[maurer]

Ad esempio, se fosse [tex]3 = xy[/tex], allora, per moltiplicatività della norma [tex]N(x) N(y) = 9[/tex] e quindi, escludendo che gli elementi siano invertibili, [tex]N(x) = 3[/tex], [tex]N(y) = 3[/tex], ma questo è assurdo perché [tex]a^2 + 5b^2 = 3[/tex] non ha soluzioni intere.

Analogamente, se [tex]\sqrt{-5} - 1 = xy[/tex] avremmo [tex]N(x) N(y) = 1 + 5 = 6[/tex] e quindi [tex]N(x) = 2[/tex], [tex]N(y) = 3[/tex], che è di nuovo assurdo...

P.S. Naturalmente [tex]N(a+b\sqrt{-5}) = 1[/tex] implica [tex]a^2 + 5 b^2 = 1[/tex] e quindi [tex]a = \pm 1[/tex], cioè l'elemento di partenza era un'unità. Quindi potevo, nei miei ragionamenti, escludere i casi [tex]N(x) = 1[/tex] e simili...

[Antimius]

Grazie per la risposta, maurer!
Devo un attimo meditare su quel che mi hai detto, ma in linea generale ho capito. Mi ero incasinato la vita con tremila conti superflui

[maurer]

Prego... spero che non ci siano errori nascosti.
Comunque, se ti può aiutare, io ho seguito l'analogia con il caso [tex](X,Y) \subset k[X,Y][/tex].

[Antimius]

Ehm, non l'ho fatto quel caso.