Ideale massimale dell'anello degli endomorfismi di uno spazio vettoriale
Salve a tutti, chi saprebbe aiutarmi a dimostrare che l'insieme degli endomorfismi di rango finito è un ideale massimale dell'anello degli endomorfismi di uno spazio vettoriale V di dimensione infinita su un campo F? Grazie anticipatamente.
Risposte
Esercizio tratto dal Lafon - Les formalismes fondaménteaux de l'algébre commutative?
Comunque sia: hai dimostrato che quell'insieme è un ideale?
Comunque sia: hai dimostrato che quell'insieme è un ideale?
Non saprei da dove possa essere tratto l'esempio, comunque ho dimostrato che è un ideale. Mi resta da provare che è massimale.
Ti scrivo come farei...
Sia \(R\) l'anello dell'esercizio e \(I\) l'ideale in oggetto, inizierei a dimostrare che \(I\) è un ideale primo (abbastanza facile), quindi \(R_{/I}\) è un dominio d'integrità: se dimostri che quest'ultimo è un campo allora \(I\) è un ideale massimale!
Il passaggio al quoziente non so se è vincente come mossa.
Sia \(R\) l'anello dell'esercizio e \(I\) l'ideale in oggetto, inizierei a dimostrare che \(I\) è un ideale primo (abbastanza facile), quindi \(R_{/I}\) è un dominio d'integrità: se dimostri che quest'ultimo è un campo allora \(I\) è un ideale massimale!
Il passaggio al quoziente non so se è vincente come mossa.
non è che la dimensione di V deve essere numerabile?
nel caso numerabile si puo far vedere per costruzione che tutti gli ideali generati da un endomorfismo con rango infinito sono tutto l'anello.
e inoltre mi viene da pensare che,se ad esempio la cardinalita della base è quella del continuo, l'ideale in questione possa essere contenuto propriamente in quello degli endomorfismi a rango numerabile
nel caso numerabile si puo far vedere per costruzione che tutti gli ideali generati da un endomorfismo con rango infinito sono tutto l'anello.
e inoltre mi viene da pensare che,se ad esempio la cardinalita della base è quella del continuo, l'ideale in questione possa essere contenuto propriamente in quello degli endomorfismi a rango numerabile
Sai Paolo mi è venuto lo stesso dubbio, ma solo per vago ricordo dell'esercizio... se tu avessi ragione allora la mossa del passaggio al quoziente potrebbe funzionare!
C'e' qualcosa che non va?
Sia $V$ uno $F$-spazio vettoriale con base $\{e_i:i\in ZZ\}$.
Sia $f$ l'endomorfismo di $V$ definito da $f(e_i)=0$ quando $i$
e' pari, mentre $f(e_i)=e_{i+1}$ quando $i$ e' dispari.
Allora il rango di $f$ e' infinito, ma $f^2=0$.
E quindi l'ideale degli endomorfismi di rango finito non e' primo.
Sia $V$ uno $F$-spazio vettoriale con base $\{e_i:i\in ZZ\}$.
Sia $f$ l'endomorfismo di $V$ definito da $f(e_i)=0$ quando $i$
e' pari, mentre $f(e_i)=e_{i+1}$ quando $i$ e' dispari.
Allora il rango di $f$ e' infinito, ma $f^2=0$.
E quindi l'ideale degli endomorfismi di rango finito non e' primo.
non credo ci siano problemi, l'anello non e' commutativo e quindi non e' detto che il quoziente su un'ideale massimale sia un campo,o che massimale implichi primo.
comunque, "inventandosi" opportuni endomorfismi da moltiplicare a un qualsiasi endomorfismo scelto con rango di dimensione equicardinale alla dimensione dello spazio, si puo mostrare che l'ideale(bilatero) generato da tale endomorfismo e' tutto l'anello A. Si tratta solo di "fare i conti" nell'anello.
quindi l'ideale I degli endomorfismi con rango di dimensione strettamente inferiore(cardinalmente parlando) rispetto alla dimensione di V e' un'ideale massimale.
comunque, "inventandosi" opportuni endomorfismi da moltiplicare a un qualsiasi endomorfismo scelto con rango di dimensione equicardinale alla dimensione dello spazio, si puo mostrare che l'ideale(bilatero) generato da tale endomorfismo e' tutto l'anello A. Si tratta solo di "fare i conti" nell'anello.
quindi l'ideale I degli endomorfismi con rango di dimensione strettamente inferiore(cardinalmente parlando) rispetto alla dimensione di V e' un'ideale massimale.
@paolo.papadia Hai ragione. E' massimale. Ecco qualche conto:
faccio vedere che l'ideale bilaterale generato da un endomorfismo $f$
di $V$ di rango uguale alla dimensione di $V$ contiene $id_V$:
Dato $f\in End(V)$, esiste $g:f(V)\rightarrow V$ tale che $fg$ e' l'identita'
su $f(V)$. Possiamo estendere $g$ a $V$. Allora $g$ sta in $End(V)$ e
soddisfa $fgf=f$.
Se $f$ ha rango uguale alla dimensione di $V$, allora esiste
un'applicazione lineare iniettiva $h:V\rightarrow f(V)$. Poiche' la
restrizione di $g$ a $f(V)$ e' iniettiva, anche la composizione
$gh:V\rightarrow V$ e' iniettiva e esiste quindi $h'\in End(V)$ tale che $h'gh=id_V$.
Abbiamo che $h'gfgh=id_V$. Infatti, sia $x\in V$. Allora $h(x)$ sta in $f(V)$ e
quindi $h(x)=f(y)$ per qualche $y\in V$. Usando l'identita' $fgf=f$ vediamo
quindi che
$h'gfgh(x)=h'gfgf(y)=h'gf(y)=h'gh(x)=x$.
faccio vedere che l'ideale bilaterale generato da un endomorfismo $f$
di $V$ di rango uguale alla dimensione di $V$ contiene $id_V$:
Dato $f\in End(V)$, esiste $g:f(V)\rightarrow V$ tale che $fg$ e' l'identita'
su $f(V)$. Possiamo estendere $g$ a $V$. Allora $g$ sta in $End(V)$ e
soddisfa $fgf=f$.
Se $f$ ha rango uguale alla dimensione di $V$, allora esiste
un'applicazione lineare iniettiva $h:V\rightarrow f(V)$. Poiche' la
restrizione di $g$ a $f(V)$ e' iniettiva, anche la composizione
$gh:V\rightarrow V$ e' iniettiva e esiste quindi $h'\in End(V)$ tale che $h'gh=id_V$.
Abbiamo che $h'gfgh=id_V$. Infatti, sia $x\in V$. Allora $h(x)$ sta in $f(V)$ e
quindi $h(x)=f(y)$ per qualche $y\in V$. Usando l'identita' $fgf=f$ vediamo
quindi che
$h'gfgh(x)=h'gfgf(y)=h'gf(y)=h'gh(x)=x$.
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