Ideale di sottoinsieme di un anello non unitario

[Angus1956]

Dare una descrizione esplicita dell’ideale generato da un sottoinsieme $S$ di un anello non unitario $A$.
$A$ fosse unitario questo ideale sarebbe $I={a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed $a_1,...,a_ninA}$.
Nel caso non unitario ho pensato di usare $I={a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed $a_1,...,a_ninA}+S$.
Infatti per definizione di ideale $I$ generato da un sottoinsieme (ovvero l'intersezione degli ideali che contengono $S$) si ha che ${a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed $a_1,...,a_ninA}subeI$ e $SsubeI$ da cui ${a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed $a_1,...,a_ninA}+SsubeI$. Poi osservo che ${a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed $a_1,...,a_ninA}+S$ è un ideale che contiene $S$, quindi $Isube{a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed $a_1,...,a_ninA}+S$ per cui $I={a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed $a_1,...,a_ninA}+S$. Qualche errore?

[Martino]

"andreadel1988":${a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed $a_1,...,a_ninA}+S$ è un ideale

Non ne sarei sicuro, se chiami (nota che $n$ non è fissato)

$J={a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$, $n in NN$ ed $a_1,...,a_ninA}$

(e ti chiederei di chiamarlo anche tu così, perché riscrivere ogni volta tutto è scoraggiante) allora $J+S$ non mi sembra necessariamente un ideale. Per esempio se $s in S$ allora $s=0+s in J+S$, ma per quale motivo $2s = s+s$ dovrebbe appartenere a $J+S$?

[Angus1956]

"Martino":Non ne sarei sicuro, se chiami (nota che $n$ non è fissato)

$J={a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$, $n in NN$ ed $a_1,...,a_ninA}$

(e ti chiederei di chiamarlo anche tu così, perché riscrivere ogni volta tutto è scoraggiante) allora $J+S$ non mi sembra necessariamente un ideale. Per esempio se $s in S$ allora $s=0+s in J+S$, ma per quale motivo $2s = s+s$ dovrebbe appartenere a $J+S$?

Si avevo pensato male, allora non so devo rifletterci meglio.

[Angus1956]

Se prendessi $G$ il sottogruppo generato dal sottoinsieme $S$ in teoria $I=GuuJ$ dovrebbe funzionare?

[Martino]

Non con l'unione, prova con la somma.

[Angus1956]

"Martino":Non con l'unione, prova con la somma.

Come mai l'unione non funziona? Ora non ho provato per bene che sto a lezione ma mi sembrava buona.Quindi tu intendi $I=G+J$?

[Martino]

Sì $G+J$.

Non l'unione perché puoi avere elementi misti del tipo $as_1+s_2$ con $a in A$, $s_1,s_2 in S$. Questi non c'è motivo che stiano né in $J$ né in $G$.

[Angus1956]

"Martino":
Non l'unione perché puoi avere elementi misti del tipo $as_1+s_2$ con $a in A$, $s_1,s_2 in S$. Questi non c'è motivo che stiano né in $J$ né in $G$.

Quindi in pratica $JuuG$ non è un ideale (io ora non ricordo esplicitamente come era fatto il sottogruppo generato da un sottoinsieme, solo che è l'intersezione di tutti i sottogruppi che contengono il sottoinsieme)