Ideale di anello di polinomi
Ciao a tutti potreste aiutarmi con questo esercizio?
Si ha $Q[x]$, $f(x) = x^4 - 3x^3 +x^2 + 4$ e $ g(x) = x^4 - x^3 - 18x^2 + 52x - 40$ ed $I$ l'ideale generato da $(f,g)$
a)Come trovo le radici razionali di $g$? Voglio dire, i divisori di 40 sono altini e sia 1 che 2 che 4 non annullano il polinomio, ed andare avanti senza calcolatrice è un difficile, c'è una scorciatoia?
b) sia $f: Q[x] -> Q $ l 'omomorfismo di anelli così definito: $f(p(x)) = p(2)$, per ogni p(x) apparentente a Q. Si determini l'ideale $J= I nn ker(f)$.
la mezza ideale che ho è che il nucleo è composto da tutti quei polinomi che si annullano in 2, giusto?
grazie mille
Si ha $Q[x]$, $f(x) = x^4 - 3x^3 +x^2 + 4$ e $ g(x) = x^4 - x^3 - 18x^2 + 52x - 40$ ed $I$ l'ideale generato da $(f,g)$
a)Come trovo le radici razionali di $g$? Voglio dire, i divisori di 40 sono altini e sia 1 che 2 che 4 non annullano il polinomio, ed andare avanti senza calcolatrice è un difficile, c'è una scorciatoia?
b) sia $f: Q[x] -> Q $ l 'omomorfismo di anelli così definito: $f(p(x)) = p(2)$, per ogni p(x) apparentente a Q. Si determini l'ideale $J= I nn ker(f)$.
la mezza ideale che ho è che il nucleo è composto da tutti quei polinomi che si annullano in 2, giusto?
grazie mille
Risposte
"Kekec":
Ciao a tutti potreste aiutarmi con questo esercizio?
Si ha $Q[x]$, $f(x) = x^4 - 3x^3 +x^2 + 4$ e $ g(x) = x^4 - x^3 - 18x^2 + 52x - 40$ ed $I$ l'ideale generato da $(f,g)$
a)Come trovo le radici razionali di $g$? Voglio dire, i divisori di 40 sono altini e sia 1 che 2 che 4 non annullano il polinomio, ed andare avanti senza calcolatrice è un difficile, c'è una scorciatoia?
b) sia $f: Q[x] -> Q $ l 'omomorfismo di anelli così definito: $f(p(x)) = p(2)$, per ogni p(x) apparentente a Q. Si determini l'ideale $J= I nn ker(f)$.
la mezza ideale che ho è che il nucleo è composto da tutti quei polinomi che si annullano in 2, giusto?
grazie mille
Noti che $g(10)>0$ (le potenze di 10 si calcolano facilmente) e da $10$ in poi la $g(x)$ vista come funzione è monotona quindi per ogni $x$ tale che $x>10$ vale che $g(x)>g(10)>0$ .... quindi le possibili radici razionali non possono essere maggiori di 10... i casi possibili rimangono $1,2,4,8$
Edit: rimangono da esaminare le possibili radici negative, non lo avevo considerato... in ogni caso ti conviene studiare $g(x)$ come funzione e vedere, sfruttando intervalli di monotonia e opportune maggiorazioni, quli possono essere le possibili radici.
Questa è una scorciatoia, magari ci sono strade ancora migliori....
Per la seconda domanda la tua idea è quella giusta.... sono tutti i polinomi che si annullano in due quindi $Ker=(x-2)$
Ora vedi che $Q[x]$ è un dominio euclideo, e come tale ha delle proprietà importanti sui suoi ideali che ti permettono di risolvere abbastanza agevolmente l'esercizio.
"klarence":
[quote="Kekec"]Ciao a tutti potreste aiutarmi con questo esercizio?
Si ha $Q[x]$, $f(x) = x^4 - 3x^3 +x^2 + 4$ e $ g(x) = x^4 - x^3 - 18x^2 + 52x - 40$ ed $I$ l'ideale generato da $(f,g)$
a)Come trovo le radici razionali di $g$? Voglio dire, i divisori di 40 sono altini e sia 1 che 2 che 4 non annullano il polinomio, ed andare avanti senza calcolatrice è un difficile, c'è una scorciatoia?
b) sia $f: Q[x] -> Q $ l 'omomorfismo di anelli così definito: $f(p(x)) = p(2)$, per ogni p(x) apparentente a Q. Si determini l'ideale $J= I nn ker(f)$.
la mezza ideale che ho è che il nucleo è composto da tutti quei polinomi che si annullano in 2, giusto?
grazie mille
Noti che $g(10)>0$ (le potenze di 10 si calcolano facilmente) e da $10$ in poi la $g(x)$ vista come funzione è monotona quindi per ogni $x$ tale che $x>10$ vale che $g(x)>g(10)>0$ .... quindi le possibili radici razionali non possono essere maggiori di 10... i casi possibili rimangono $1,2,4,8$
Edit: rimangono da esaminare le possibili radici negative, non lo avevo considerato... in ogni caso ti conviene studiare $g(x)$ come funzione e vedere, sfruttando intervalli di monotonia e opportune maggiorazioni, quli possono essere le possibili radici.
Questa è una scorciatoia, magari ci sono strade ancora migliori....
Per la seconda domanda la tua idea è quella giusta.... sono tutti i polinomi che si annullano in due quindi $Ker=(x-2)$
Ora vedi che $Q[x]$ è un dominio euclideo, e come tale ha delle proprietà importanti sui suoi ideali che ti permettono di risolvere abbastanza agevolmente l'esercizio.[/quote]
Ho studiato la funzione ed ho trovato gli zeri, grazie.
In questo momento mi sfuggono le proprietà, anche perchè io con gli ideali sono proprio zero, aiutino? grazie
In un dominio euclideo è noto che $(f,g)$ è uguale all'ideale generato dal $MCD(f,g)$ e $(I nn Y)$ è uguale all'ideale generato dal $mcm(I,Y)$
"klarence":
In un dominio euclideo è noto che $(f,g)$ è uguale all'ideale generato dal $MCD(f,g)$ e $(I nn Y)$ è uguale all'ideale generato dal $mcm(I,Y)$
Ok dunque trovo l'ideale $I$ facendo l'MCD tra $f$ e $g$. E fin qui.
Ma non ci sono infiniti polinomi che si annullano in $2$, come faccio a fare l'mcm tra una funzione definita ed una no?
"Kekec":
Ma non ci sono infiniti polinomi che si annullano in $2$, come faccio a fare l'mcm tra una funzione definita ed una no?
No aspetta... il $kerf$ è l'ideale generato dal polinomio $(x-2)$, mentre l'ideale generato da $f,g$ è l'ideale generato dal massimo comune divisore fra f e g.... quindi l'ideale che devi trovare (che sarebbe l'ideale $I nn kerf$) è l'ideale generato dal $mcm( (x-2) , MCD(f,g) )$ . Qui la funzione non subentra più, lavori solo con gli ideali...
"klarence":
[quote="Kekec"]
Ma non ci sono infiniti polinomi che si annullano in $2$, come faccio a fare l'mcm tra una funzione definita ed una no?
No aspetta... il $kerf$ è l'ideale generato dal polinomio $(x-2)$, mentre l'ideale generato da $f,g$ è l'ideale generato dal massimo comune divisore fra f e g.... quindi l'ideale che devi trovare (che sarebbe l'ideale $I nn kerf$) è l'ideale generato dal $mcm( (x-2) , MCD(f,g) )$ . Qui la funzione non subentra più, lavori solo con gli ideali...[/quote]
Perfeto grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo