I quaternioni, perchè?
Volevo sapere a cosa servono i quaternioni, da che esigenza sono nati, e come sono stati applicati
Perchè scomodarsi così tanto?
Io ho letto la "Storia della matematica" di Boyer, ma quando ha spiegato come siano nati, non ho ben compreso, come non ho compreso perchè non è riuscito a costruire dei nuovi numeri con 3 numeri.
Perchè scomodarsi così tanto?
Io ho letto la "Storia della matematica" di Boyer, ma quando ha spiegato come siano nati, non ho ben compreso, come non ho compreso perchè non è riuscito a costruire dei nuovi numeri con 3 numeri.
Risposte
Per "quaternioni" puoi intendere due cose: il gruppo dei quaternioni o il corpo dei quaternioni.
- Il gruppo dei quaternioni è $Q_8$, di ordine 8. L'interesse di questo gruppo è che esso è essenzialmente (in questo senso) l'unico gruppo finito non abeliano ogni cui sottogruppo è normale. In realtà è abbastanza incredibile che un tale gruppo esista, ma esiste, e per questo è fonte inesauribile di controesempi alle asserzioni più svariate.
- Il corpo dei quaternioni (questo) è interessante per il seguente motivo. Ogni anello con divisione (corpo) finito è un campo (questo è un risultato di Wedderburn, vedi per esempio qui). Un esempio di corpo infinito che non è un campo è proprio il corpo dei quaternioni.
Poi c'è questo teorema che è interessante (riporto da wikipedia):
Frobenius theorem: The only finite dimensional division algebras over the reals are the real numbers, the complex numbers and the quaternions.
Poi naturalmente ci sono altre cose da dire, ma per ora mi vengono in mente queste.
- Il gruppo dei quaternioni è $Q_8$, di ordine 8. L'interesse di questo gruppo è che esso è essenzialmente (in questo senso) l'unico gruppo finito non abeliano ogni cui sottogruppo è normale. In realtà è abbastanza incredibile che un tale gruppo esista, ma esiste, e per questo è fonte inesauribile di controesempi alle asserzioni più svariate.
- Il corpo dei quaternioni (questo) è interessante per il seguente motivo. Ogni anello con divisione (corpo) finito è un campo (questo è un risultato di Wedderburn, vedi per esempio qui). Un esempio di corpo infinito che non è un campo è proprio il corpo dei quaternioni.
Poi c'è questo teorema che è interessante (riporto da wikipedia):
Frobenius theorem: The only finite dimensional division algebras over the reals are the real numbers, the complex numbers and the quaternions.
Poi naturalmente ci sono altre cose da dire, ma per ora mi vengono in mente queste.
Ehm... ^^'' non mi intendo molto di teoria dei gruppi, non conosco molta terminologia. Più che chiedermi cosa sono, vorrei sapere perchè ci sono, come li hanno "scovati".
Perdona la mia ignoranza.
Perdona la mia ignoranza.
Cercavano un estensione del campo dei complessi, per quel poco che ne so.
Il corpo dei quaternioni ha importanza anche dal punto di vista geometrico. Detto alla buona: i numeri complessi permettono di descrivere in termini di somme e prodotti tutti i movimenti rigidi del piano; analogo mestiere fanno i quaternioni nello spazio tridimensionale. Vedi Needham Visual complex analysis capitolo 1 (esp. paragrafo Transformations and Euclidean Geometry - sottoparagrafo Spatial complex numbers?).
Oh, interessante, ora capisco perchè i quaternioni vengono usati in robotica
Però ora che ci penso, che relazione c'è tra i numeri complessi e i movimenti rigidi del piano? Perchè proprio del piano? E c'entra qualcosa che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso?
Però ora che ci penso, che relazione c'è tra i numeri complessi e i movimenti rigidi del piano? Perchè proprio del piano? E c'entra qualcosa che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso?
beh..
i numeri complessi sono uno spazio vettoriale su [tex]\mathbb{R}[/tex] a due dimensioni..
insomma sono un piano.. con l' asse reale e quello immaginario..
i numeri complessi sono uno spazio vettoriale su [tex]\mathbb{R}[/tex] a due dimensioni..
insomma sono un piano.. con l' asse reale e quello immaginario..
... Sì, ok, fin lì c'ero
Mi è venuto solo in mente ora che cosa si intende per movimenti rigidi in geometria... Scusate.
Mi è venuto solo in mente ora che cosa si intende per movimenti rigidi in geometria... Scusate.
Non vedo cosa ci sia da scusarsi: non è banale l'identificazione delle operazioni dei numeri complessi con i movimenti rigidi del piano. Anzi è uno degli aspetti più interessanti (IMHO) di questo sistema numerico.
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