HERSTEIN?
DUE domande per tutti i futuri gauss sintonizzati:
1 - E' per caso, in qualche maniera, NOTO che gli esercizi dell'Herstein siano tosti?
Sarebbe una piccola consolazione dato che al secondo problema del paragrafo sui SottoGruppi sono già in altomare..
2 - Il problema:
HP:
1. G gruppo (Nessuna ipotesi di finitezza)
2. Interseco tutti i sottogruppi non banali. A:= Questa intersezione.
A è non banale
TH:
Ogni elemento di G è di ordine finito.
- - -
Devo dimostrare che per ogni m intero risulta g^m diverso dall'elemento neutro.
Quindi volendo porcedere indirettamente posso supporre che Esista un m per cui g^m dia l'elemento neutro... ma...come sfrutto il resto in modo da contraddire le ipotesi??
Confido in voi...
1 - E' per caso, in qualche maniera, NOTO che gli esercizi dell'Herstein siano tosti?
Sarebbe una piccola consolazione dato che al secondo problema del paragrafo sui SottoGruppi sono già in altomare..
2 - Il problema:
HP:
1. G gruppo (Nessuna ipotesi di finitezza)
2. Interseco tutti i sottogruppi non banali. A:= Questa intersezione.
A è non banale
TH:
Ogni elemento di G è di ordine finito.
- - -
Devo dimostrare che per ogni m intero risulta g^m diverso dall'elemento neutro.
Quindi volendo porcedere indirettamente posso supporre che Esista un m per cui g^m dia l'elemento neutro... ma...come sfrutto il resto in modo da contraddire le ipotesi??
Confido in voi...
Risposte
Io non ho capito la traccia. Sarà un mio limite ma non ho capito.
Personalmente i problemi dell'Herstein li trovo decenti!
Hai un gruppo [tex]$G$[/tex] tale che l'intersezione dei suoi sottogruppi non identici sia non identico, il teorema basta dimostrarlo per assurdo!
Hai un gruppo [tex]$G$[/tex] tale che l'intersezione dei suoi sottogruppi non identici sia non identico, il teorema basta dimostrarlo per assurdo!
ok per assurdo supponendo che esista quantomeno un g in G t.c. per ogni m intero positivo si ha g^m diverso da e.neutro (cioè esiste al più un g di periodo infinito)....
e poi...calecchie!?!?!
e poi...calecchie!?!?!
Esistendo in [tex]$G$[/tex] un elemento $h$ di periodo infinito si ha che esso genera il gruppo [tex]$(\mathbb{Z},+)$[/tex], a meno d'isomorfismi, con ciò quale ipotesi violi?
Fino al punto a me concesso di sapere dall'autore, non dovrei neanche sapere cosa sia un isomorfismo.
Non mi è dato sapere che gli elementi aperiodici generano (Z,+).
Io ho a disposizione:
- def. di Gruppo e Sottogruppo
- def. di ordine di un elemento
- Teorema di Lagrange e corollari (Fermat, Eulero, [Se G ha ordine primo è ciclico]) Altri risultati sui gruppi finiti.
- Il fatto che intersezione di sottogruppi sia sottogruppo.
Di primo acchito direi che forse (Z,+) non ha sottogruppi non banali.. dunque non posso ammettere vera l'ipotesi 2. del problema...
Però non ricordo con certezza se (Z,+) ha questa caratteristica..e soprattutto ciò non risolve ancora il mio problema dato il vincolo degli strumenti elementari che posso utilizzare.
Non mi è dato sapere che gli elementi aperiodici generano (Z,+).
Io ho a disposizione:
- def. di Gruppo e Sottogruppo
- def. di ordine di un elemento
- Teorema di Lagrange e corollari (Fermat, Eulero, [Se G ha ordine primo è ciclico]) Altri risultati sui gruppi finiti.
- Il fatto che intersezione di sottogruppi sia sottogruppo.
Di primo acchito direi che forse (Z,+) non ha sottogruppi non banali.. dunque non posso ammettere vera l'ipotesi 2. del problema...
Però non ricordo con certezza se (Z,+) ha questa caratteristica..e soprattutto ciò non risolve ancora il mio problema dato il vincolo degli strumenti elementari che posso utilizzare.
No, $ZZ$ ammette sottogruppi non banali e sono tutti e soli quelli della forma $nZZ$.
Per il problema ci sto pensando anche io.
Per il problema ci sto pensando anche io.
Esercizio pagina 49 numero 2? Da quanto leggo non conosci la classificazione dei gruppi ciclici 
comunque l'intersezione dei sottogruppi di [tex]$(\mathbb{Z},+)$[/tex] è il sottogruppo identico in violazione con le ipotesi.
comunque l'intersezione dei sottogruppi di [tex]$(\mathbb{Z},+)$[/tex] è il sottogruppo identico in violazione con le ipotesi.
per j18eos:
Io ciò che fino a pag 49 n°2 non è stato introdotto, devo assolutamente impormi di non saperlo.
Che poi in secondo luogo, io ora non ricordi bene i risultati di classificazione è vero ( MALE! ) però comunque sto studiando in maniera progressiva e solida proprio per prepararmi bene e formarmi ...al di là dell'esame.
per mistake89:
Sono quasi due giorni che tento di dare una svolta...ma nulla ancora..
Ma...........leggo BARI.. di sicuro ci conosciamo
Io ciò che fino a pag 49 n°2 non è stato introdotto, devo assolutamente impormi di non saperlo.
Che poi in secondo luogo, io ora non ricordi bene i risultati di classificazione è vero ( MALE! ) però comunque sto studiando in maniera progressiva e solida proprio per prepararmi bene e formarmi ...al di là dell'esame.
per mistake89:
Sono quasi due giorni che tento di dare una svolta...ma nulla ancora..
Ma...........leggo BARI.. di sicuro ci conosciamo
Capisco come vuoi procedere, io in questi giorni stò tentando di dimostrare che i gruppi di ordine [tex]$p^2$[/tex] sono abeliani senza utilizzare il prodotti diretti.
Purtroppo più dell'incipit adesso non mi viene, ci proverò anch'io utilizzando le nozioni precedenti al (tuo) problema.
Purtroppo più dell'incipit adesso non mi viene, ci proverò anch'io utilizzando le nozioni precedenti al (tuo) problema.
"wide87":
per mistake89:
Sono quasi due giorni che tento di dare una svolta...ma nulla ancora..
Ma...........leggo BARI.. di sicuro ci conosciamo
In questi giorni che sono un po' più libero provo a venirci a capo se riesco.
Io credo di conoscerti infatti, almeno se il nick non mente
Ho avuto un'idea, però non so se è corretta...te la lancio.
Supponi che esista un $g in G$ che abbia periodo infinito. Allora il gruppo ciclico generato da $g$ ha periodo infinito ovviamente contenuto in $G$.
Quindi tra i vari $H_i$ ci saranno i sottogruppi generato dalle potenze di $g$, che ovviamente sono non banali, ma la cui intersezione è ovviamente banale, contraddicendo le ipotesi.
Sicuramente c'è qualcosa da rivedere, magari è sbagliata, però almeno è un'idea
Supponi che esista un $g in G$ che abbia periodo infinito. Allora il gruppo ciclico generato da $g$ ha periodo infinito ovviamente contenuto in $G$.
Quindi tra i vari $H_i$ ci saranno i sottogruppi generato dalle potenze di $g$, che ovviamente sono non banali, ma la cui intersezione è ovviamente banale, contraddicendo le ipotesi.
Sicuramente c'è qualcosa da rivedere, magari è sbagliata, però almeno è un'idea
Se g ha periodo infinito per quale motivo i sottogruppi generati dalle sue potenze dovrebbero avere elementi distinti da ???
Cioè per ogni n , q interi (g^n)^q è una potenza di g, banalmente g^(nq).. che appartiene a.
Dovrebbe essere giusto ciò che ho scritto..
Il nick non mente..sono Antonello.. tu? Gianluca?
Cioè per ogni n , q interi (g^n)^q è una potenza di g, banalmente g^(nq).. che appartiene a
Dovrebbe essere giusto ciò che ho scritto..
Il nick non mente..sono Antonello.. tu? Gianluca?
NO TU INTENDEVI UN'ALTRA COSA:
Tu dici..
g € G di periodo infinito. Considero il sottogruppo di G generato da g. Cioè
:= {e, g^(+o-1), g^(+o-2), g^(+o-3), .... }
Questo s.g. di G adesso, perchè dovrebbe avere intersezione banale con gli altri? nessuno mi garantisce che non ci sia un altro sottogruppo contenente tutte le potenze di g e altri elementi..credo..
Tu dici..
g € G di periodo infinito. Considero il sottogruppo di G generato da g. Cioè
Questo s.g. di G adesso, perchè dovrebbe avere intersezione banale con gli altri? nessuno mi garantisce che non ci sia un altro sottogruppo contenente tutte le potenze di g e altri elementi..credo..
Intendevo i gruppi generati da $g$, $g^2$, $g^3$...
Ne sono infiniti (perchè le potenze di $g$ sono infinite) e quindi puoi sempre trovare un $g^n$ che non appartiene a qualche $H_i$.
Un po' come accade per i sottogruppi di $ZZ$.
Non riesco a spiegarmi per bene, però credo che questo non sia sbagliato.
Ne sono infiniti (perchè le potenze di $g$ sono infinite) e quindi puoi sempre trovare un $g^n$ che non appartiene a qualche $H_i$.
Un po' come accade per i sottogruppi di $ZZ$.
Non riesco a spiegarmi per bene, però credo che questo non sia sbagliato.
Provo a formalizzare l'idea (ottima) di Mistake.
Per assurdo esiste un elemento [tex]g\in G[/tex] di ordine infinito, con [tex]g\neq 1[/tex] (vabbè [tex]1[/tex] ha ovviamente ordine finito).
Pongo per ogni [tex]k[/tex] intero positivo [tex]H_k=< g^k >[/tex].
[tex]H_k[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex] non banale. Visto che [tex]A[/tex] è l'intersezione di tutti i sottogruppi non banali, [tex]A\subset H_k[/tex].
Dall'arbitrarietà di [tex]k[/tex], abbiamo che [tex]$ A\subset \bigcap_{k\geq 1}H_k[/tex].
Ora, per ipotesi, esiste un elemento [tex]h[/tex] di [tex]A[/tex], [tex]h\neq 1[/tex]. Quindi [tex]h[/tex] appartiene ad ogni [tex]H_k[/tex].
Ma mi sembra che l'unico elemento di ogni [tex]H_k[/tex] sia [tex]1[/tex]. Quindi [tex]h=1[/tex].
Di qui l'assurdo.
P.S. @wide87: Se sei l'unico Antonello che conosco a Bari, sono molto contento di incontrarti qui. Ottimo acquisto per il forum.
Però i prossimi messaggi scrivili usando le formule. Qui facciamo le cose per bene!
Per assurdo esiste un elemento [tex]g\in G[/tex] di ordine infinito, con [tex]g\neq 1[/tex] (vabbè [tex]1[/tex] ha ovviamente ordine finito).
Pongo per ogni [tex]k[/tex] intero positivo [tex]H_k=< g^k >[/tex].
[tex]H_k[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex] non banale. Visto che [tex]A[/tex] è l'intersezione di tutti i sottogruppi non banali, [tex]A\subset H_k[/tex].
Dall'arbitrarietà di [tex]k[/tex], abbiamo che [tex]$ A\subset \bigcap_{k\geq 1}H_k[/tex].
Ora, per ipotesi, esiste un elemento [tex]h[/tex] di [tex]A[/tex], [tex]h\neq 1[/tex]. Quindi [tex]h[/tex] appartiene ad ogni [tex]H_k[/tex].
Ma mi sembra che l'unico elemento di ogni [tex]H_k[/tex] sia [tex]1[/tex]. Quindi [tex]h=1[/tex].
Di qui l'assurdo.
P.S. @wide87: Se sei l'unico Antonello che conosco a Bari, sono molto contento di incontrarti qui. Ottimo acquisto per il forum.
Però i prossimi messaggi scrivili usando le formule. Qui facciamo le cose per bene!
................................fila fila eccome.
Grazie ragazzi ! mi ricorderò di utilizzare le formule..purtroppo sono praticamente nuovo..ho bisogno di ingranare con i codici etc..
grandi!!
anche se ora ho due di me conoscitori ma neanche una faccia in mente!! Non vale
Grazie ragazzi ! mi ricorderò di utilizzare le formule..purtroppo sono praticamente nuovo..ho bisogno di ingranare con i codici etc..
grandi!!
anche se ora ho due di me conoscitori ma neanche una faccia in mente!! Non vale
Mi fa piacere che vi conoscete; posto solo per affermare che c'ero arrivato anch'io a questa soluzione "senza isomorfismi".
Ecco perché mi piace l'Herstein, ti stimola ad usare le conoscenze pure in maniera "non standard".
Ecco perché mi piace l'Herstein, ti stimola ad usare le conoscenze pure in maniera "non standard".
Grazie cirasa! Purtroppo sono stato troppo impegnato oggi per provare a formalizzare l'idea!
Purtroppo sono stato troppo impegnato oggi per provare a formalizzare l'idea!
ora che il problema è stato risolto, vorrei dare un consiglio a wide87:
innanzitutto sì, gli esercizi dell' Herstein sono davvero tosti, saperli fare tutti vuol dire aver capito molto a fondo l'algebra di base, ed essere anche bravini.
poi ho letto che tu vorresti risolverli tutti solo con le conoscenze "del momento".
ebbene lascia perdere! per convincerti di quanto sia arduo riuscire in questo tuo proposito, ti riporto ciò che scrive Israel Nathan a commento dell'esercizio 26 a pagina 51:
"Non vi scoraggiate se non riuscite a risolvere questo problema, usando, della teoria dei gruppi, solo quanto visto fin qui. Non conosco nessuno, me compreso, che abbia risolto il problema usando i limitati mezzi a disposizione a questo punto. Ma è divertente tentare."
le ultime parole sono fondamentali: affrontare seriamente un esercizio difficile è molto meglio che risolvere al volo un esercizio banale.
innanzitutto sì, gli esercizi dell' Herstein sono davvero tosti, saperli fare tutti vuol dire aver capito molto a fondo l'algebra di base, ed essere anche bravini.
poi ho letto che tu vorresti risolverli tutti solo con le conoscenze "del momento".
ebbene lascia perdere! per convincerti di quanto sia arduo riuscire in questo tuo proposito, ti riporto ciò che scrive Israel Nathan a commento dell'esercizio 26 a pagina 51:
"Non vi scoraggiate se non riuscite a risolvere questo problema, usando, della teoria dei gruppi, solo quanto visto fin qui. Non conosco nessuno, me compreso, che abbia risolto il problema usando i limitati mezzi a disposizione a questo punto. Ma è divertente tentare."
le ultime parole sono fondamentali: affrontare seriamente un esercizio difficile è molto meglio che risolvere al volo un esercizio banale.
Cavoli...ora le cose cambiano... ad ogni modo... io tenterò di espugnarli tutti.
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