|G/Z(G)| = n, allora nessun sottogruppo di G ha più di n coniugati
Salve a tutti. Chiedo scusa, se abbiamo un gruppo G e l'ipotesi che il centro di G, ossia Z(G) ha indice finito in G ossia |G/Z(G)| ha ordine pari a n, finito, perchè si ha che nessun sottogruppo di G ha più di n coniugati? Io ho ragionato per assurdo e quindi ho supposto che ci sia un sottogruppo K di G che abbia n+1 coniugati. Ciò, per un teorema studiato, equivale a dire che esistono n+1 laterali destri del normalizzante in G del sottogruppo K. Per la nostra ipotesi esistono n laterali destri di Z(G) in G... A tal punto (pensando anche al normalizzante di Z(G)in G) non sono arrivata alla conclusione
. Ho riflettuto ma non sono arrivata alla conclusione.. Tanto gentilmente chiedo se qualcuno può aiutarmi.
Vi ribgrazio tantissimo

Vi ribgrazio tantissimo
Risposte
Ragiona sul fatto che il normalizzante di cui parli contiene Z(G).
Grazie mille. Intendi il normalizzante in G di K (non quello di Z(G)), giusto? Se è così, ho pensato che essendo Z(G) contenuto nel normalizzante in G del generico sottogruppo K, allora ciò implica che avendo n+1 laterali destri del normalizzante in G di K, avremo n+1 laterali destri di Z(G). Pertanto si è arrivati ad un assurdo e dall'assurdo segue la tesi (il contenuto del mio quesito posto nel mio primo messaggio).... E' così? Grazie mille
Scusa non ti seguo. Siccome è molto semplice te lo scrivo direttamente: chiamando [tex]N_G(K)[/tex] il normalizzante di K in G, siccome [tex]Z(G) \leq N_G(K) \leq G[/tex] puoi scrivere
[tex]|G:Z(G)| = |G:N_G(K)| \cdot |N_G(K):Z(G)|[/tex]
di conseguenza [tex]|G:N_G(K)|[/tex] divide [tex]|G:Z(G)|[/tex] e quindi [tex]|G:N_G(K)| \leq |G:Z(G)|[/tex].
[tex]|G:Z(G)| = |G:N_G(K)| \cdot |N_G(K):Z(G)|[/tex]
di conseguenza [tex]|G:N_G(K)|[/tex] divide [tex]|G:Z(G)|[/tex] e quindi [tex]|G:N_G(K)| \leq |G:Z(G)|[/tex].
Grazie mille
. Io avevo utilizzato tale catena di disuguaglianze e avevo proceduto continuando il ragionamento per assurdo scritto nel mio primo messaggio

Chiedo scusa, il fatto che $Z(G) <= N_G(K)$ vale per la definizione di centro di un gruppo (ossia dell'insieme degli elementi permutabili con tutti gli elementi del gruppo) e per definizione di normalizzante del sottogruppo $K$ nel gruppo $G$? O per qualche altro risultato?
Grazie mille
Grazie mille
Si può dimostrare facilmente. Prova a dimostrarlo, scrivi qui la dimostrazione e ti dico se è giusta

Preso un generico elemento $x in Z(G)$ bisogna dimostrare che $x in N_G(K)$. Essendo $x in Z(G)$, si ha dunque (per definizione di centro di un gruppo) che $xy=yx$ per ogni elemento $y in G$ e quindi in particolare per ogni elemento di $K <= G$, cioè $x$ permuta con tutti gli elementi di $K <= G$. Pertanto $xK = Kx$, sicchè $x in N_G(K)$
Sì
Grazie