Gruppo simmetrico S

[valeee931]

Salve a tutti, inizio dicendo che del grupppo simmetrico S non sono per niente pratico, mi serve una mano a fare questo esercizio e capire su come operare in questa tipologia, vi ringrazio in anticipo:
Nel gruppo \(\displaystyle S_9 \) delle permutazioni su \(\displaystyle {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \) si consideri la permutazione
\(\displaystyle α = \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9&\\9&6&2&1&7&3&8&5&4\end{pmatrix} \)
(a) Si decomponga \(\displaystyle α \) nel prodotto di cicli a due a due disgiunti.
(b) Determinare il sottogruppo \(\displaystyle <α> \) generato da \(\displaystyle α \) , elencandone gli elementi.

Grazie del vostro aiuto

[vict85]

L'argomento è generalmente inserito nella sezione di algebra e matematica discreta. In quella sezione trovi molti esercizi simili. Probabilmente la discussione verrà spostata.
Per il punto (a) si procede come segue:
[list=1][*:ialnx1ix] Si parte da \(\displaystyle 1 \) e si considera la sua immagine, in questo caso \(\displaystyle 9 \). Quindi cominci a scrivere \(\displaystyle (19 \);[/*:m:ialnx1ix]
[*:ialnx1ix] Proseguendo dal punto a cui sei arrivato, cioè \(\displaystyle 9 \), consideri la sua immagine, cioè \(\displaystyle 4 \). Scrivi allora \(\displaystyle (194 \);[/*:m:ialnx1ix]
[*:ialnx1ix] Ripeti il procedimento per il \(\displaystyle 4 \). Siccome la sua immagine è \(\displaystyle 1 \) allora il ciclo si chiude e il primo ciclo disgiunto sarà \(\displaystyle (194) \);[/*:m:ialnx1ix]
[*:ialnx1ix] Siccome \(\displaystyle 2 \) non appartiene al primo ciclo disgiunto è la partenza del secondo ciclo. La sua immagine è \(\displaystyle 6 \) e quindi il nuovo ciclo inizia con \(\displaystyle (26 \);[/*:m:ialnx1ix]
[*:ialnx1ix] Procedendo come per il primo ciclo trovi che il secondo è \(\displaystyle (263) \).[/*:m:ialnx1ix]
[*:ialnx1ix] 3 appartiene al secondo ciclo, \(\displaystyle 4 \) al primo, quindi parti da \(\displaystyle 5 \) e trovi il ciclo \(\displaystyle (578) \).[/*:m:ialnx1ix]
[*:ialnx1ix] Siccome ogni numero è in qualche ciclo concludi dicendo che \(\displaystyle \alpha = (194)(263)(578) \). [/*:m:ialnx1ix][/list:o:ialnx1ix]
Dubbi?
Riguardo al sottogruppo sfrutti la decomposizioni in cicli disgiunti e quindi avrai che:
\(\displaystyle \langle\alpha\rangle = \{ e, \alpha, \alpha^2 = (194)^2(263)^2(578)^2 \} \)

[valeee931]

Direi proprio che più chiaro di così non potevi essere...l'unica cosa che mi rimane un pò strana è la risposta alla b,ma la studierò meglio grazie infinite per l'aiuto e per il suo chiarimento!

[vict85]

I cicli disgiunti commutano, e non ti ho calcolato il quadrato (cosa che ho lasciato a te). Commutando si ha che il quadrato del loro prodotto è il prodotto dei quadrati. Se non fossero disgiunti questo non accadrebbe.
Inoltre un ciclo di di tre elementi ha ordine \(3\), quindi \(\alpha^3 = e\)