Gruppo Simmetrico: permutazione identica

[gundamrx91-votailprof]

Proposizione: Si può ottenere la permutazione identica moltiplicando un'arbitraria permutazione $\sigma$ per opportune trasposizioni.

Io ho una dimostrazione per induzione (un pò lunghetta), ma che non trovo per niente chiara, tanto che non riesco a farmi un esempio. Qualcuno può aiutarmi? Basterebbe anche un esempio o entrambe le cose: dimostrazione+esempio.

Grazie mille

[vict85]

"GundamRX91":Proposizione: Si può ottenere la permutazione identica moltiplicando un'arbitraria permutazione $\sigma$ per opportune trasposizioni.

Io ho una dimostrazione per induzione (un pò lunghetta), ma che non trovo per niente chiara, tanto che non riesco a farmi un esempio. Qualcuno può aiutarmi? Basterebbe anche un esempio o entrambe le cose: dimostrazione+esempio.

Grazie mille

Considerando che per gli assiomi di gruppo per ogni permutazione \(\sigma\) esiste \(\sigma^{-1}\) e che \(\sigma s_1\cdots s_n = e\) equivale a dire \(\sigma^{-1} = s_n\cdots s_1\) allora la tua proposizione consiste nel chiedersi se ogni elemento di \(\mathrm{Sym}(\Omega)\) con \(|\Omega|<\omega\) (cioè ha cardinalità finita) è esprimibile come prodotto di trasposizioni.
Siccome una permutazione è esprimibile come prodotto di cicli disgiunti basta dimostrare che i cicli sono prodotto di trasposizioni.
E questo si fa con un esempio. Un n-ciclo \((a_1,\dots a_n)\) è esprimibile come il prodotto \((a_1\ a_n)\cdots(a_1\ a_2)\).


P.S: quel prodotto è scritto in modo da essere corretto se il prodotto lo leggi da destra a sinistra. Ogni tanto si usa il verso opposto e quindi è utile renderlo esplicito.

[gundamrx91-votailprof]

Grazie vict per la risposta
Intuitivamente la questione è semplice in quanto posso pensare ad una permutazione come.... una permutazione della permutazione identica, e sapendo appunto che ogni permutazione può essere decomposta come prodotto di cicli disgiunti e che sua volta può essere espressa come prodotto di trasposizioni, alla fine con "le giuste" trasposizioni posso riportare la mia permutazione ad essere la permutazione identica.
Adesso provo a giocare un pò con i numeri e poi vedo se riesco a ricondurre il tutto alla dimostrazione della dispensa.
Grazie ancora.

[vict85]

"GundamRX91":Grazie vict per la risposta
Intuitivamente la questione è semplice in quanto posso pensare ad una permutazione come.... una permutazione della permutazione identica, e sapendo appunto che ogni permutazione può essere decomposta come prodotto di cicli disgiunti e che sua volta può essere espressa come prodotto di trasposizioni, alla fine con "le giuste" trasposizioni posso riportare la mia permutazione ad essere la permutazione identica.
Adesso provo a giocare un pò con i numeri e poi vedo se riesco a ricondurre il tutto alla dimostrazione della dispensa.
Grazie ancora.

Se non capisci qualcosa puoi sempre metterla qui.