Gruppo quoziente di un gruppo ciclico

[mmattiak]

Come dimostrereste che il gruzzo quoziente di un gruppo ciclico è ciclico a sua volta?

[agnenga1]

Sia

$G$ $/N = {Nx | x \in G}$

il gruppo quoziente e sia

$G=\langle g \rangle$.

Un elemento del quoziente è $Nx$, e il quoziente è caratterizzato dalla legge

$Nx*Ny=Nxy$ (1)

Si consideri allora $Ng$.

Si ha $Nx=Ng^i$ per qualche $i \in \ZZ$.

Da (1) segue

$Nx=Ng* ...*Ng=(Ng)^i$. Quindi

$G//N=\langle Ng \rangle$.

[vict85]

L'immagine di un omorfismo è caratterizzato interamente dall'immagine di un qualsiasi insieme di generatori.

[mmattiak]

"vict85":L'immagine di un omorfismo è caratterizzato interamente dall'immagine di un qualsiasi insieme di generatori.

Potresti essere più chiaro per favore?

[vict85]

Sai cos'è un insieme di generatori di un gruppo?

Comunque è l'analogo del teorema che afferma che ogni applicazione lineare è determinata dall'immagine di una base.

[agnenga1]

"mmattiak":[quote="vict85"]L'immagine di un omorfismo è caratterizzato interamente dall'immagine di un qualsiasi insieme di generatori.

Potresti essere più chiaro per favore?[/quote]

La proiezione canonica \[ \pi : G \to G/N \] \[ x \mapsto Nx \] è un epimorfismo (= omomorfismo suriettivo) di gruppi, con nucleo $N$.

In generale un gruppo \(G\) si dice generato da un suo sottoinsieme \(X\) se esso coincide col più piccolo sottogruppo di \(G\) contenente \(X\) e si indica con \( \langle X \rangle \). Si ha che se \(X= \lbrace x_1,x_2,...,x_n,...\rbrace \) è un sottoinsieme di generatori di un gruppo \(G\), allora \[ \langle X\rangle = G = \lbrace t_1 t_2 ... t_r | t_i \in X \text{ oppure } t_{i}^{-1} \in X, r \in \mathbb{N} \rbrace \]

Infatti tale insieme è un sottogruppo di \(G\) contenente \(X\) e contenuto in ogni sottogruppo di \(G\) contenente \(X\).

Allora è immediato vedere che se esiste un omomorfismo tra \(G\) e un altro gruppo \(G'\), l'immagine \(\phi(G)\), che è un gruppo, risulta individuata non appena siano note le immagini, \(\phi(x_i)\), dei generatori di \(G\). Infatti, dalla definizione di omomorfismo segue \[\phi(t_1t_2...t_r)=\phi(t_1)\phi(t_2)...\phi(t_r) \] ed è \[\phi(x_{i}^{-1})=\phi(x_i)^{-1}.\]
In modo più diretto, riferendosi al nostro caso particolare di ipotesi di ciclicità (= l'insieme dei generatori è unitario), si dimostra che se esiste un omomorfismo tra due gruppi, allora, se il primo è ciclico, anche l'immagine di questo (tramite l'omomorfismo) è un gruppo ciclico. Nel caso in questione il primo gruppo è $G$ ed è ciclico per ipotesi, mentre il secondo è il gruppo quoziente, che per via della suriettività dell'omomorfismo coincide con l'immagine di $\pi$.

Per dimostrare dunque la ciclicità sia \[ G=\langle g \rangle = \lbrace g^k | k \in \mathbb{Z} \rbrace \]
allora \[ \text{Im} \pi = \lbrace \pi(g^k) | k \in \mathbb{Z} \rbrace = \lbrace \pi(g)^k | k \in \mathbb{Z} \rbrace = \langle \pi(g) \rangle \]