Gruppo quoziente
Qualcuno mi toglierebbe il seguente dubbio:
che cosa contiene il gruppo quoziente $ RR $[x]$/(x^2+1) $?
che cosa contiene il gruppo quoziente $ RR $[x]$/(x^2+1) $?
Risposte
"spode":
Qualcuno mi toglierebbe il seguente dubbio:
che cosa contiene il gruppo quoziente $ RR $[x]$/(x^2+1) $?
Si tratta proprio della definizione di $CC$; infatti l'anello dei polinomi reali può essere quozientato dall'ideale generato dal polinomio $x^2+1$.
Questo è quello che volevi sapere?
Vuoi vedere la dimostrazione?
Nono grazie! =)
Io ero partito dal fatto che contenesse le classi resto per spiegarmi quella cosa di $CC$. Come fai a capire che ci sono quegli elementi?
Io ero partito dal fatto che contenesse le classi resto per spiegarmi quella cosa di $CC$. Come fai a capire che ci sono quegli elementi?
$(RR[x])/((x^2 +1))$ $~=$ $RR(i)$ $=$ $CC$
Perchè $i$ e $-i$ sono le radici di $x^2 +1$ in $CC$ (basta aggiungere soltanto $i$ ad $RR$ per ottenere $CC$ poichè se un campo contiene un elemento allora contiene necessariamente in suo inverso).
Perchè $i$ e $-i$ sono le radici di $x^2 +1$ in $CC$ (basta aggiungere soltanto $i$ ad $RR$ per ottenere $CC$ poichè se un campo contiene un elemento allora contiene necessariamente in suo inverso).
Ciao! Intendo come si fa a capire quali sono gli elementi di quel gruppo quoziente. Perché sono della forma$ ax+b$?
"spode":
Ciao! Intendo come si fa a capire quali sono gli elementi di quel gruppo quoziente. Perché sono della forma$ ax+b$?
Il quoziente $RR[x]/(x^2+1)$ ha per elementi i laterali dell’ideale $I = (x^2+1)$, quindi del tipo $I + f(x)$.
Ora, se dividiamo $f(x)$ per $x^2+1$, otteniamo il quoziente $q$ ed il resto $r$, che ha la forma $a+bx$.
Ovvero: $I+f(x)=I+(x^2+1)\cdot q+a+bx=I+a+bx=(I+a)+(I+b)(I+x)$
Grazie!
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