Gruppo per cui $f(g)=g^(-1)$ per almeno $3/4$ di $|G|$.
Sia $G$ un gruppo finito, $f$ un omomorfismo di $G$ in sè per cui valga $f(g)=g^(-1)$ per almeno $3/4$ degli elementi di $G$. Dimostrare che allora $f(g)=g^(-1)$ per tutti gli elementi di $G$, e che $G$ è abeliano.
Premetto che ho la soluzione, che l'ho sbirciata e ho notato che la mia idea di fondo (che ora espongo) è giusta, ma non riesco a concludere praticamente, e come fa il mio prof non mi garba per niente, in particolare un passaggio lo trovo brutto e complicato. Chiedo quindi aiuto al forum, speranzoso come sempre.
L'idea è dimostrare che $H={ginG|f(g)=g^(-1)}$ è un sottogruppo di $G$. Se infatti così fosse, tale sottogruppo avrebbe ordine $>= [3/4|G|]+1$, dove con $[x]$ indico il minimo intero che non supera $x$, e in particolare dunque $|H|>[|G|/2]+1$, e allora avrebbe indice minore di $2$, possibile solo se $H$ è $G$ stesso (oppure basta dire "per il teorema di Lagrange"). Convinto che sia una buona strada, dimostro agile che $e$, l'elemento neutro sta in $H$ e che se $x$ sta in $H$ allora ci sta anche $x^(-1)$. Manca solo la chiusura. Ossia che presi $x,y in H$, dovrebbe essere che $xy in H$, ovvero che $f(xy)=(xy)^(-1)=y^(-1)x^(-1)$. Ma dato che $f$ è omomorfismo, $f(xy)=x^(-1)y^(-1)$,e allora la proprietà di chiusura si traduce in $xy=yx$ per ogni $x$ e $y$ in $H$, ovvero che $H$ sia abeliano. Dat oche devo dimostrare anche che $G$ è abeliano, provo a fare subito questo (Anche perchè se dimostro che $H$ è abeliano, ossia completo la dimostrazione che è un sottogruppo e che quindi è uguale a $G$, allora è ovvio che anche $G$ è abeliano. Ma dimostrare che $G$ è abeliano a senso mi risulta più facile, dato che posso parlare di $Z(G)$, mentre non credo si possa parlare di centro di $H$. dato che $H$ non so ancora se è un sottogruppo..).
Dunque:$G$ è abeliano $<=>$ $Z(G)=G$, ma per questo è sufficiente che $H subset Z(G)$, in quanto $Z(G)$ sarebbe un sottroguppo di indice minore di $2$, e dunque sarebbe tutto $G$. La proprietà $H subset Z(G)$ , ovvero $hinZ(G)$ $forall h in H$, si traduce in $Z(h)=G$ per ogni $h in H$. Questo è il punto in cui mi blocco. Come dimostro che $Z(h)=G$ per ogni $h in H$? Fatto questo, ho finito.
Mi rivolgo a voi. Grazie come sempre.
Premetto che ho la soluzione, che l'ho sbirciata e ho notato che la mia idea di fondo (che ora espongo) è giusta, ma non riesco a concludere praticamente, e come fa il mio prof non mi garba per niente, in particolare un passaggio lo trovo brutto e complicato. Chiedo quindi aiuto al forum, speranzoso come sempre.
L'idea è dimostrare che $H={ginG|f(g)=g^(-1)}$ è un sottogruppo di $G$. Se infatti così fosse, tale sottogruppo avrebbe ordine $>= [3/4|G|]+1$, dove con $[x]$ indico il minimo intero che non supera $x$, e in particolare dunque $|H|>[|G|/2]+1$, e allora avrebbe indice minore di $2$, possibile solo se $H$ è $G$ stesso (oppure basta dire "per il teorema di Lagrange"). Convinto che sia una buona strada, dimostro agile che $e$, l'elemento neutro sta in $H$ e che se $x$ sta in $H$ allora ci sta anche $x^(-1)$. Manca solo la chiusura. Ossia che presi $x,y in H$, dovrebbe essere che $xy in H$, ovvero che $f(xy)=(xy)^(-1)=y^(-1)x^(-1)$. Ma dato che $f$ è omomorfismo, $f(xy)=x^(-1)y^(-1)$,e allora la proprietà di chiusura si traduce in $xy=yx$ per ogni $x$ e $y$ in $H$, ovvero che $H$ sia abeliano. Dat oche devo dimostrare anche che $G$ è abeliano, provo a fare subito questo (Anche perchè se dimostro che $H$ è abeliano, ossia completo la dimostrazione che è un sottogruppo e che quindi è uguale a $G$, allora è ovvio che anche $G$ è abeliano. Ma dimostrare che $G$ è abeliano a senso mi risulta più facile, dato che posso parlare di $Z(G)$, mentre non credo si possa parlare di centro di $H$. dato che $H$ non so ancora se è un sottogruppo..).
Dunque:$G$ è abeliano $<=>$ $Z(G)=G$, ma per questo è sufficiente che $H subset Z(G)$, in quanto $Z(G)$ sarebbe un sottroguppo di indice minore di $2$, e dunque sarebbe tutto $G$. La proprietà $H subset Z(G)$ , ovvero $hinZ(G)$ $forall h in H$, si traduce in $Z(h)=G$ per ogni $h in H$. Questo è il punto in cui mi blocco. Come dimostro che $Z(h)=G$ per ogni $h in H$? Fatto questo, ho finito.
Mi rivolgo a voi. Grazie come sempre.
Risposte
aprendo e sfogliando i problemi del libro di algebra (prima o poi dovevo farlo) ho trovato proprio questo esercizio, al quale segue questo:
trovare un esempio di gruppo finito non abeliano ed un suo automorfismo che mandi esattamente tre quarti degli elementi di G nel proprio inverso... mentre il testo di avinlee88 è scritto come 'più di tre quarti'.... just for information
trovare un esempio di gruppo finito non abeliano ed un suo automorfismo che mandi esattamente tre quarti degli elementi di G nel proprio inverso... mentre il testo di avinlee88 è scritto come 'più di tre quarti'.... just for information
"alvinelee88":
A quanto ho capito, il tuo schema di ragionemtno è il seguente: Affermi che, fissato $ainH$, $Z(a)={binH|abinH}$, e dopo sostieni che ${binH|abinH}=H nn aH$.
Non era questo che intendevo. Non ho stabilito nessuna relazione fra $aHnnH$ e ${b\in H | ab\in H}$, ne' affermato che $Z(a)={binH|abinH}$.
Ho osservato invece che gli elementi di $aH nn H$ sono della forma $ah$, con $h\in H$ e $ah\in H$; dunque, se $ah\in aHnn H$, allora $h\in {b\in H | ab\in H}$. Ne segue che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnnH|$. Poiche' $Z(a)\supseteq{binH|abinH}$, vale $|Z(a)|>=|aHnn H|.
"Thomas":
trovare un esempio di gruppo finito non abeliano ed un suo automorfismo che mandi esattamente tre quarti degli elementi di G nel proprio inverso...
Bravo Thomas!
Ci hai evitato di cercare di dimostrare il falso ancora una volta! 
"fields":
Ho osservato invece che gli elementi di $aH nn H$ sono della forma $ah$, con $h\in H$ e $ah\in H$; dunque, se $ah\in aHnn H$, allora $h\in {b\in H | ab\in H}$. Ne segue che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnnH|$.
Probabilmente sono stupido, ma non mi torna. Te dici che un elemento $x inHnnaH$ è della forma $x=ah$, $h,ahinH$, giusto? E quindi ovviamente $hin{binH | abinH}$. Ma quando dici "Ne segue che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnnH|$" intendi che $aHnnH subset {b\in H | ab\in H}$? Perchè se così fosse non mi torna, come ho spiegato prima. Mi torna invece prendendo $H nn a^(-1)H$. Dove sbaglio?
Per il resto avevo come pensavo capito male, la dimostrazione fila.
"fields":
[quote="Thomas"]trovare un esempio di gruppo finito non abeliano ed un suo automorfismo che mandi esattamente tre quarti degli elementi di G nel proprio inverso...
Bravo Thomas!
Ci hai evitato di cercare di dimostrare il falso ancora una volta! [/quote]eheh
"alvinlee88":
Ma quando dici "Ne segue che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnnH|$" intendi che $aHnnH subset {b\in H | ab\in H}$?
No. Vedila cosi': $aHnn H={ah_1,ah_2,...,ah_n}$, con $h_1,h_2,...,h_n\in H$. Dunque, ${b\in H | ab\in H}\supseteq {h_1,h_2,...,h_n}$; ecco perche' dico che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnn H|$.
@Thomas
Che libro di algebra stai consultando?
"fields":
No. Vedila cosi': $aHnn H={ah_1,ah_2,...,ah_n}$, con $h_1,h_2,...,h_n\in H$. Dunque, ${b\in H | ab\in H}\supseteq {h_1,h_2,...,h_n}$; ecco perche' dico che $|{b\in H | ab\in H}|>=|aHnn H|$.
Grazie mille, sei stato chiarissimo e molto gentile. Comunque secondo me era un problema piuttosto bello, mi dispiace di non essere riuscito a risolverlo da solo. grazie ancora
"fields":
@Thomas
Che libro di algebra stai consultando?
Scommetto l'Herstein!
scommetti bene avinlee88... "Algebra" di Herstein, per la precisione la V edizione pag.75!...
In Verità il Problema NON è stato risolto o meglio la Soluzione NON è corretta.Infatti NON è stato dimostrato che $|aHnH|>$(3/4)|G|.Il fatto che |aH|>$(3/4)|G| e |H|>$(3/4)|G| NON implica la disuguaglianza precedente.La implica se H è un sottogruppo ma questo è proprio quello che si vuole ancora dimostrare e quindi non si può usare l'argomentazione data.Tuttavia è abbastanza facile dimostrare che gli ultimi due insiemi della catena di inclusioni ultima sono in realtà UGUALI tra loro e uguali a Z(a)nH.
Dopo dieci anni ce ne faremo una ragione …
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