Gruppo ordine pqr risolubile

[perplesso1]

Siano $p,q,r$ primi non necessariamente distinti. Provare che ogni gruppo di ordine $pqr$ è solubile


Sia $G$ un gruppo di ordine $pqr$. Se $p=q=r$ allora $G$ è un p-gruppo finito e quindi è solubile. Se $p=q$ e quindi $|G|=p^2r$ allora G possiede un p-Sylow normale $P$ oppure un r-Sylow normale $R$. Nel primo caso ${1}
Se $p,q,r$ sono distinti supponiamo $p

Caso 1: r-sylow $R$ unico quindi normale.
Allora detto $Q$ un q-sylow, il gruppo $QR$ ha ordine $qr$ e indice primo $p$. Ma $p$ è il più piccolo primo che divide l'ordine di $G$, pertanto $QR$ è normale e ${1} < R < QR < G$ è una serie normale a fattori abeliani. Infatti $G/{QR}$ è cilico di ordine $p$ mentre ${QR}/R$ è cilcico di ordine $q$ e $R/{1}$ è ciclico di ordine $r$.


Caso 2: ci sono $pq$ r-sylow distinti
Allora ci sono $pq(r-1)$ elementi di ordine $r$. Togliamoli, ci rimangono $pqr- pq(r-1)=pq$ elementi di ordine $p$ oppure $q$. Studiamo il numero degli q-sylow. $1+kq$ divide $pr$, tuttavia $1+kq >p$ se $k \ne 0$ quindi $1+kq \in {1,r,pr}$. Se il numero degli q-sylow fosse $pr$ allora avremmo $pr(q-1)$ elementi di ordine $q$, troppi. Infatti $pr(q-1)>pq$ equivale a $r(q-1)>q$ ovvero $q>r/{r-1} >1$ che è vero visto che $q>=2$. Se invece ci sono $r$ q-sylow allora ci sono $r(q-1)$ elementi di ordine $q$. Ma poi rimangono meno di $p$ elementi di ordine $p$, impossibile perchè deve esserci almeno un p-sylow. Verifichiamo infatti che $pq-r(q-1)
Tantissima gratitudine a chi vorrà correggere questi miei scarabocchi!

[Studente Anonimo]

Mi limito a segnalarti che se n'è già parlato qui(1) e qui(2).

[perplesso1]

Ho postato senza prima cercare. Chiedo perdono ora me li leggo, grazie!

[perplesso1]

Allora ho capito che il caso 2 da me trattato non accade mai. Fino al punto in cui si dimostra che il q-sylow è unico mi trovo, poi però non ho continuato per dimostrare che l' r-sylow è normale, ma ho detto una cosa tipo "se il caso 2 sussiste il gruppo G è comunque solubile". Ora in realtà non ho capito se questo compromette la dimostrazione, però è facile aggiustarla limitandosi al primo caso dopo aver mostrato che non può essere altrimenti. Grazie ancora.

[j18eos]

Mi scuso per il fuori tema ortografico, ma i gruppi in questione si dicono risolubili in lingua italiana mentre in lingua inglese si dicono solvables; inoltre la solubilità, a mia povera conoscenza, è un cocetto chimico e non algebrico.

Purtroppo non sono in pieno delle mie forze mentali, quindi non ti posso aiutare perplesso.

[perplesso1]

Hai ragione, sono un asino. xD Comunque wikipedia it usa questo termine in almeno tre pagine

http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_gruppi

http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_solubile

http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_finito

Curiosità: sarebbe sbagliato anche se traducessi solvable con "solvibile" ?

"j18eos":Purtroppo non sono in pieno delle mie forze mentali, quindi non ti posso aiutare perplesso.

Non fa niente, mi hai gia aiutato con l'ortografia. Grazie.

[j18eos]

Gruppo solvibile non sarebbe errato, in quanto questa tipologia di gruppi nasce storicamente dal problema della solvibilità di equazioni algebriche a coefficienti razionali (o interi, tanto è lo stesso)!

Inoltre, gruppo solubile in inglese si direbbe soluble group.

Chiudo scrivendoti che non ho mai pensato che tu sia un asino.

[Studente Anonimo]

Scusa Armando, ma è chiaro che ti piacciono le lingue, quindi osservo un paio di cose.

"j18eos":Mi scuso per il fuori tema ortografico

Forse vuoi dire lessicale?

"j18eos":in lingua inglese si dicono solvables

In inglese gli aggettivi non vanno declinati.

Riguardo la terminologia, a quanto ne so agli americani piace usare "solvable", ai britannici piace usare "soluble", in un certo senso è vero che i gruppi risolubili si "sciolgono", o meglio, secondo me si può dire che si "sfaldano"

[Lemniscata1]

Infatti Robinson, nel suo A course in the theory of groups, li chiama soluble groups, non solvable.

[j18eos]

@perplesso Se il mio cervello si è messo in moto correttamente: è tutto a posto nella misura in cui tu ignori quanto appreso da Martino! Il punto dolente è che il II caso è impossibile... insomma è come se tu dimostrassi che gli asini volano pur sapendo che ciò è impossibile! Non so se mi spiego.

@Martino Sì, è vero mi piacciono le lingue scritte e parlate; è vero che ho pure difficoltà con l'inglese e che oggi ho difficoltà anche con l'italiano più del solito!
Per quanto riguarda i gruppi che si sfaldano, mi vengono in mente i 3 dell'ave Maria: Remark, Krull e Schmidt @_@ Non che sia un brutto lavoro il loro, ma è che l'ho digerito meglio dopo aver appreso qualcosina di algebra commutativa.

@lemniscata Il Robinson l'ho lasciato a Napoli altrimenti avrei verificato.