Gruppo moltiplicativo di Zn. Esercizio
L'esercizio è:
Verificare che [tex]Z_{21}^*[/tex] sia ciclico
Conosco due teoremi
Teo1 : [tex]Z_n^*[/tex] è ciclico $ hArr $ n=2,4 $ p^k $ , $ p^{2k} $ , essendo p un qualunque numero primo, $ p != 2 $ , e k intero positivo $ k >= 1 $
Teo2: $ a in Z_n^* $ è un generatore di $ Z_n^* hArr a^{phi(n)//p} != 1 mod n $ , per ogni p che sia un divisore di n ( $ phi $ è l'indicatore di eulero).
Dati questi due teoremi
1 Domanda : Dato che 21=3*7, non essendo vero il primo teorema (non è espirmibile come potenza di un numero primo diverso da 2), posso dire a priori che non è ciclico?
2 Domanda: Se tuttavia provo a verificare, sfruttando il secondo teorema , se 2 è generatore, ottengo che $ 2^4 != 1 mod 21 $ , ma 2 cmq non è un generatore (infatti ha ordine minimo 6). Come mai?
Verificare che [tex]Z_{21}^*[/tex] sia ciclico
Conosco due teoremi
Teo1 : [tex]Z_n^*[/tex] è ciclico $ hArr $ n=2,4 $ p^k $ , $ p^{2k} $ , essendo p un qualunque numero primo, $ p != 2 $ , e k intero positivo $ k >= 1 $
Teo2: $ a in Z_n^* $ è un generatore di $ Z_n^* hArr a^{phi(n)//p} != 1 mod n $ , per ogni p che sia un divisore di n ( $ phi $ è l'indicatore di eulero).
Dati questi due teoremi
1 Domanda : Dato che 21=3*7, non essendo vero il primo teorema (non è espirmibile come potenza di un numero primo diverso da 2), posso dire a priori che non è ciclico?
2 Domanda: Se tuttavia provo a verificare, sfruttando il secondo teorema , se 2 è generatore, ottengo che $ 2^4 != 1 mod 21 $ , ma 2 cmq non è un generatore (infatti ha ordine minimo 6). Come mai?
Risposte
Non è ciclico. Un'altra prova potrebbe essere questa $U(ZZ_21) \cong U(ZZ_3) \times U(ZZ_(7)) \cong ZZ_2 \times ZZ_6$.
Se le tue sono caratterizzazione della ciclicità di un gruppo che non vengono verificate, beh allora certo che puoi concludere che non è ciclico.
La seconda condizione dice che deve esserlo per ogni primo. non solo per uno. E se controlli hai $2^6=64 \equiv 1 mod 21$
Se le tue sono caratterizzazione della ciclicità di un gruppo che non vengono verificate, beh allora certo che puoi concludere che non è ciclico.
La seconda condizione dice che deve esserlo per ogni primo. non solo per uno. E se controlli hai $2^6=64 \equiv 1 mod 21$
per fare $ 2^6 $ , hai preso p=2 ( $ 2^{12/2}=1mod 21 $ ). Ma nel teo dice di considerare solo i numeri p divisori di n=21, e 2 non divide 21
Hai ragione, suppongo però che ci sia un errore. Divisori di $phi(n)$ altrimenti non è detto che quella potenza sia un intero.
Per esempio $p=7$ divide $n=21$, mentre non divide $phi(n)=12$, per cui dovresti calcolare $2^(12/7)$ che non è ovviamente intero.
Per esempio $p=7$ divide $n=21$, mentre non divide $phi(n)=12$, per cui dovresti calcolare $2^(12/7)$ che non è ovviamente intero.
Esatto, infatti dovresti calcolare l'inverso di 7 in $ Z_21 $ , ma (7,21)=7, non sono primi tra loro, e inoltre 7 non è un divisore di 1, quindi non è una congruenza che si può risolvere... Quindi dici che ho sbagliato a scrivere il teo ? Li hai già incontrati questi due teoremi per caso?
No, mai incontrati in verità!
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