Gruppo generale lineare a coefficienti in $ZZ/2$
Sia $F$ il campo delle classi di resto modulo 2.
a) Eisbire tutti gli elementi di $G=GL_2(F)$
b) Mostrare che G non è abeliano
c) Trovare le matrici $m in G$ t.c $mm^t=I$ e mostrare che costituiscono un sottogruppo, O
d) Determinare un isomorfismo tra G e $Sym(3)$
RISOLUZIONE
per ora considero solo il punto a).
Il gruppo generale lineare è quello formato dalle matrici nxn invertibili a coefficienti in $F$.
Quindi le mie matrici avranno genericamente forma
$ | ( a , b ),( c , d ) | $
con $a,b,c,d = 0,1$ dove con $0,1$ si intendono i valori modulo 2.
Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante non nullo: quindi posso escludere le matrici i cui elementi sono tutti uguali (tutti 0 e tutti 1), poi tutte le matrici aventi tre elementi pari a 0.
Inoltre le matrici invertibili hanno le colonne linearmente indipendenti, quindi escludo anche
$ | ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) | $ , $ | ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) | $ , $ | ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ) | $ , $ | ( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) | $
Quindi mi restano le seguenti matrici:
- Matrice identità
- $ | ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) | $
- Matrici aventi tre elementi pari a 1.
Mi restano dunque 6 matrici.
E' corretto?
b) Mostrare che G non è abeliano, cioè devo mostrare che non vale la proprietà commutativa rispetto all'operazione binaria del gruppo, cioè il prodotto tra matrici.
Ho preso come esempio le matrici
$ | ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) | $ e $ | ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) | $ , ne ho calcolato il prodotto in entrambe le direzioni ed è diverso.
c) Chiaramente la marice identità soddisfa la richiesta; per le altre ho calcolato la trasposta e ho valutato il prodotto come richiesto.
Solo la matrice $ | ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) | $ soddisfa la richiesta.
L'insieme formato da queste due matrici è un sottogruppo:
- La I ne fa parte;
- Chiaramente, dato che ne fanno parte solo I e la matrice m, comunque scelti gli elementi la loro composizione è sempre m, ed è ancora parte dell'insieme.
- Ciascuna matrice è uguale alla propria trasposta, che coincide in questo caso con l'inversa. Le inverse appartengono dunque ancora al sottoinsieme.
Poichè sono verificate tutte le richieste del sottogruppo, O risulta essere tale.
d)In quest'ultima parte non so da che parte prendere...come determino l'isomorfismo?
Mi potete aiutare?
Fin qui come va la mia risoluzione?
Grazie mille dell'aiuto e buon pomeriggio.
a) Eisbire tutti gli elementi di $G=GL_2(F)$
b) Mostrare che G non è abeliano
c) Trovare le matrici $m in G$ t.c $mm^t=I$ e mostrare che costituiscono un sottogruppo, O
d) Determinare un isomorfismo tra G e $Sym(3)$
RISOLUZIONE
per ora considero solo il punto a).
Il gruppo generale lineare è quello formato dalle matrici nxn invertibili a coefficienti in $F$.
Quindi le mie matrici avranno genericamente forma
$ | ( a , b ),( c , d ) | $
con $a,b,c,d = 0,1$ dove con $0,1$ si intendono i valori modulo 2.
Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante non nullo: quindi posso escludere le matrici i cui elementi sono tutti uguali (tutti 0 e tutti 1), poi tutte le matrici aventi tre elementi pari a 0.
Inoltre le matrici invertibili hanno le colonne linearmente indipendenti, quindi escludo anche
$ | ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) | $ , $ | ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) | $ , $ | ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ) | $ , $ | ( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) | $
Quindi mi restano le seguenti matrici:
- Matrice identità
- $ | ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) | $
- Matrici aventi tre elementi pari a 1.
Mi restano dunque 6 matrici.
E' corretto?
b) Mostrare che G non è abeliano, cioè devo mostrare che non vale la proprietà commutativa rispetto all'operazione binaria del gruppo, cioè il prodotto tra matrici.
Ho preso come esempio le matrici
$ | ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) | $ e $ | ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) | $ , ne ho calcolato il prodotto in entrambe le direzioni ed è diverso.
c) Chiaramente la marice identità soddisfa la richiesta; per le altre ho calcolato la trasposta e ho valutato il prodotto come richiesto.
Solo la matrice $ | ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) | $ soddisfa la richiesta.
L'insieme formato da queste due matrici è un sottogruppo:
- La I ne fa parte;
- Chiaramente, dato che ne fanno parte solo I e la matrice m, comunque scelti gli elementi la loro composizione è sempre m, ed è ancora parte dell'insieme.
- Ciascuna matrice è uguale alla propria trasposta, che coincide in questo caso con l'inversa. Le inverse appartengono dunque ancora al sottoinsieme.
Poichè sono verificate tutte le richieste del sottogruppo, O risulta essere tale.
d)In quest'ultima parte non so da che parte prendere...come determino l'isomorfismo?
Mi potete aiutare?
Fin qui come va la mia risoluzione?
Grazie mille dell'aiuto e buon pomeriggio.
Risposte
Il punto $a$ è corretto!
I punti $b$ e $c$ mi fido dei tuoi conti!
Al punto $d$ devi iniziare calcolare l'ordine o periodo (come lo vuoi chiamare) degli elementi di [tex]$GL(2;\mathbb{Z}_2)$[/tex], in quanto gl'isomorfismi tra gruppi preservano tali proprietà degli elementi!
I punti $b$ e $c$ mi fido dei tuoi conti!
Al punto $d$ devi iniziare calcolare l'ordine o periodo (come lo vuoi chiamare) degli elementi di [tex]$GL(2;\mathbb{Z}_2)$[/tex], in quanto gl'isomorfismi tra gruppi preservano tali proprietà degli elementi!
Ciao! Grazie per la risposta.
Dunque, calcolo gli ordini (per comodità darei un nome alle matrici sennò è un casino...)
Poniamo
$m_1= | ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) | $ , $m_2= | ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) | $ , $m_3= | ( 1 , 1 ),( 0 , 1 ) | $ , $m_4= | ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) | $
e $n= | ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) | $
Abbiamo
$o(n)=2$ per quanto visto nel punto precedente;
$o(m_1)=3$
$o(m_2)=2$
$o(m_3)=2$ e
$o(m_4)=3$
Ma come costruisco l'isomorfismo?
Grazie ancora
Ciao
Dunque, calcolo gli ordini (per comodità darei un nome alle matrici sennò è un casino...)
Poniamo
$m_1= | ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) | $ , $m_2= | ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) | $ , $m_3= | ( 1 , 1 ),( 0 , 1 ) | $ , $m_4= | ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) | $
e $n= | ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) | $
Abbiamo
$o(n)=2$ per quanto visto nel punto precedente;
$o(m_1)=3$
$o(m_2)=2$
$o(m_3)=2$ e
$o(m_4)=3$
Ma come costruisco l'isomorfismo?
Grazie ancora
Ciao
Ricordandoti che l'unico gruppo non abeliano di ordine 6; a meno d'isomorfismi, è [tex]$S_3$[/tex] ed i suoi sottogruppi il gioco è fatto!
$S_3$ è il gruppo delle permutazioni di un insieme di 3 elementi.
Per esempio, se l'insieme è ${1,2,3}$ le sue permutazioni saranno
123 (identità), 132, 231, 213, 312, 321.
Ma come faccio a sapere quali sono i sottogruppi di $S_3$?
Poi non ho capito bene a cosa mi servono i sottogruppi...l'isomorfismo non deve essere tra gli elementei di G e quelli di $S_3$...
Non dovrei piuttosto calcolare l'ordine degli elementi di $S_3$?
Grazie e scusa l'ignoranza
Buon pomeriggio
Per esempio, se l'insieme è ${1,2,3}$ le sue permutazioni saranno
123 (identità), 132, 231, 213, 312, 321.
Ma come faccio a sapere quali sono i sottogruppi di $S_3$?
Poi non ho capito bene a cosa mi servono i sottogruppi...l'isomorfismo non deve essere tra gli elementei di G e quelli di $S_3$...
Non dovrei piuttosto calcolare l'ordine degli elementi di $S_3$?
Grazie e scusa l'ignoranza
Buon pomeriggio
Utilizzando la notazione ciclica; il sostegno di [tex]$S_3$[/tex] è: [tex]$\{\iota_3;(1 2);(2 3);(3 1);(1 2 3);(3 2 1)\}$[/tex] da cui s'evince che ci sono 3 sottogruppi di ordine 2 ed uno solo di ordine 3! Le 3 matrici di ordine 2 le associ mediante l'isomorfismo da te chiamato [tex]$f$[/tex] ai 2-cicli e le 2 matrici di ordine 3 le associ con criterio ai 3-cicli.
EDIT: Eccoti la chiave di lettura della notazione ciclica con un esempio: [tex]$(1 3 2)$[/tex] è la permutazione che sposta 1 in 3, 3 in 2 e 2 in 1! Se non si fosse capito [tex]$\iota_3$[/tex] è la permutazione identica!
EDIT: Eccoti la chiave di lettura della notazione ciclica con un esempio: [tex]$(1 3 2)$[/tex] è la permutazione che sposta 1 in 3, 3 in 2 e 2 in 1! Se non si fosse capito [tex]$\iota_3$[/tex] è la permutazione identica!
"j18eos":
Utilizzando la notazione ciclica; il sostegno di [tex]$S_3$[/tex] è: [tex]$\{\iota_3;(1 2);(2 3);(3 1);(1 2 3);(3 2 1)\}$[/tex] da cui evince che ci sono 3 sottogruppi di ordine 2 ed uno solo di ordine 3! Le 3 matrici di ordine 2 le associ mediante l'isomorfismo da te chiamato [tex]$f$[/tex] ai 2-cicli e le 2 matrici di ordine 3 le associ con criterio ai 3-cicli.
Non capisco una cosa: perchè dici che un solo elemento ha ordine 3? Sia $123)$ sia $(321)$ hanno ordine 3, o perlomeno a me risulta così. Mettiamo di applicare la permutazione $(321)$ a $(123)$:
$(123)$
$(312)$
$(231)$
$(123)$
Invece applicando $(123)$ ottengo
$(123)$
$(231)$
$(312)$
$(123)$
Hanno entrambe ordine 3 o sbaglio?
In effetti anche tra le mie 6 matrici di G ce ne sono 3 aventi ordine 2 e 2 avennti ordine 3 (più ovviamente l'identità con ordine 1)
EDIT: Eccoti la chiave di lettura della notazione ciclica con un esempio: [tex]$(1 3 2)$[/tex] è la permutazione che sposta 1 in 2, 3 in 2 e 2 in 1! Se non si fosse capito [tex]$\iota_3$[/tex] è la permutazione identica!
Intendi dire che sposta 1 in 3, 3 in 2 e 2 in 1?
grazie per la pazienza!
Ho detto un sottogruppo di ordine 3; ed aggiungo che i suoi elementi sono i 3-cicli e l'identità!
Nessun problema in pazienza!
EDIT: Ho corretto alcune imprecisioni che ho notato e che mi hai fatto notare!
Nessun problema in pazienza!
EDIT: Ho corretto alcune imprecisioni che ho notato e che mi hai fatto notare!
"j18eos":
Ho detto un sottogruppo di ordine 3; ed aggiungo che i suoi elementi sono i 3-cicli e l'identità!
Nessun problema in pazienza!
EDIT: Ho corretto alcune imprecisioni che ho notato e che mi hai fatto notare!
Mi dispiace, ti sto davvero logorando mi sa...è che la notazione con i cicli mi manda in confusione.
Visto che tra le varie notazioni (prof, libro di algebra, dispense) erano tutte diverse e mi stavano incasinando alla grande, ho provato ad adottare questa notazione (tratta da L.N. Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra):
$i: (1,2,3) rarr (1,2,3)$
$rho: (1,2,3) rarr (2,3,1)$
$rho^2: (1,2,3) rarr (3,1,2)$
$theta: (1,2,3) rarr (2,1,3)$
$theta rho : (1,2,3) rarr (1,3,2)$
$theta rho^2 : (1,2,3) rarr (3,2,1)$
Notiamo che $rho^3 = id$, cioè $rho$ ha ordine 3.
Anche $rho^2$ ha ordine 3.
$theta$, $theta rho^2$ e $theta rho$, che fissano un elemento, hanno ordine 2.
Quindi il mio insieme $Sym_3={i, rho, rho^2, theta, theta rho, theta rho^2}$
Quello che non mi è chiaro (una delle tante cose) è: io devo costruire un isomorfismo tra i due insiemi, giusto? Ma perchè tu parli di sottogruppi di $Sym_3$?
L'isomorfismo non deve essere tra gli elementi di G e gli elementi di $Sym_3$?
Scusa la mia testa dura, ma proprio non capisco....
Grazie per la pazienza e buona serata.
Ovviamente l'isomorfismo che tu cerchi associa la matrice identica all'identità [tex]$\iota_3$[/tex].
Ripetendo che un isomorfismo tra gruppi preserva l'ordine degli elementi, alle matrici di [tex]$GL(2;\mathbb{Z}_2)$[/tex] di periodo 2 devi associare le permutazioni di periodo 2 (i "miei" 2-cicli o le "tue" permutazioni che fissano un elemento).
Restano le 2 matrici di periodo 3 che devi associare alle 2 restanti permutazioni di periodo 3!
Dopo questo si nota che effettivamente l'applicazione biettiva [tex]$f$[/tex] costruita associa i sottogruppi di [tex]$GL(2;\mathbb{Z}_2)$[/tex] ai sottogruppi di [tex]$Sym3$[/tex]; devi solo verificare che il prodotto delle matrici che tu associ mediante [tex]$f$[/tex] alle permutazioni da te chiamate [tex]$\theta$[/tex] e [tex]$\rho$[/tex] sia la matrice che tu associ mediante [tex]$f$[/tex] a [tex]$\theta\rho$[/tex], in quanto in questo caso i prodotti di matrici di medesimo periodo sono matrici del medesimo periodo ed i prodotti matrici di periodo diverso (rispettivamente 2 e 3) determinano l'altra matrice di periodo 3 (tanto solo 2 ci sono).
Ti faccio ancora notare che sfrutto molto il fatto che: a meno d'isomorfismi [tex]$Sym3$[/tex] è l'unico gruppo non abeliano di ordine 6 e che abbia solo 4 sottogruppi non banali di cui 3 di ordine 2 ed uno solo di ordine 3 (per cui tutti ciclici).
Spero di essere stato abbastanza esauriente altrimenti ti dovrò costruire io l'isomorfismo
Ripetendo che un isomorfismo tra gruppi preserva l'ordine degli elementi, alle matrici di [tex]$GL(2;\mathbb{Z}_2)$[/tex] di periodo 2 devi associare le permutazioni di periodo 2 (i "miei" 2-cicli o le "tue" permutazioni che fissano un elemento).
Restano le 2 matrici di periodo 3 che devi associare alle 2 restanti permutazioni di periodo 3!
Dopo questo si nota che effettivamente l'applicazione biettiva [tex]$f$[/tex] costruita associa i sottogruppi di [tex]$GL(2;\mathbb{Z}_2)$[/tex] ai sottogruppi di [tex]$Sym3$[/tex]; devi solo verificare che il prodotto delle matrici che tu associ mediante [tex]$f$[/tex] alle permutazioni da te chiamate [tex]$\theta$[/tex] e [tex]$\rho$[/tex] sia la matrice che tu associ mediante [tex]$f$[/tex] a [tex]$\theta\rho$[/tex], in quanto in questo caso i prodotti di matrici di medesimo periodo sono matrici del medesimo periodo ed i prodotti matrici di periodo diverso (rispettivamente 2 e 3) determinano l'altra matrice di periodo 3 (tanto solo 2 ci sono).
Ti faccio ancora notare che sfrutto molto il fatto che: a meno d'isomorfismi [tex]$Sym3$[/tex] è l'unico gruppo non abeliano di ordine 6 e che abbia solo 4 sottogruppi non banali di cui 3 di ordine 2 ed uno solo di ordine 3 (per cui tutti ciclici).
Spero di essere stato abbastanza esauriente altrimenti ti dovrò costruire io l'isomorfismo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo