Gruppo fondamentale di $\mathbb Z^2\setminus\{(0,0)\}$
Qual e' il gruppo fondamentale di $\mathbb Z^2\setminus\{(0,0)\}$, con la metrica Euclidea?
Risposte
Dato che conosco solo di nome i gruppi fondamentali: non dovresti specificare la topologia dell'insieme in questione!
hai ragione, fatto.
Immagino che tu intenda primo gruppo fondamentale. O intendi altro?
Beh, ma scusa... quella roba è totalmente disconnessa... per definire il primo gruppo fondamentale, devi scegliere un punto e il gruppo fondamentale in quel caso coincide con il gruppo fondamentale della componente connessa per archi contenente il punto e lì il gruppo è banalmente 0!
Beh, ma scusa... quella roba è totalmente disconnessa... per definire il primo gruppo fondamentale, devi scegliere un punto e il gruppo fondamentale in quel caso coincide con il gruppo fondamentale della componente connessa per archi contenente il punto e lì il gruppo è banalmente 0!
Ma è la risposta che volevi? Perché io non ho colto la provocazione e sono curioso!
Beh.. se uno vive in $\mathbb Z^2\setminus\{(0,0)\}$, si accorge che in $(0,0)$ c'e' un buco...
Beh, scusami ma non ti seguo. Se il ragionamento che ho fatto è corretto, e mi pare di sì, il primo gruppo fondamentale basato su un punto di [tex]\mathbb Z^2[/tex] è lo stesso che in [tex]\mathbb Z^2 \setminus \{(0,0)\}[/tex], quindi io non vedo la differenza! Potresti essere più chiaro?
@ Valerio: per piacere, potresti modificare il titolo? Quello attuale non è molto esplicativo.
Grazie.
Grazie.
"Paolo90":
@ Valerio: per piacere, potresti modificare il titolo? Quello attuale non è molto esplicativo.
Grazie.
fatto
"maurer":
Beh, scusami ma non ti seguo. Se il ragionamento che ho fatto è corretto, e mi pare di sì, il primo gruppo fondamentale basato su un punto di [tex]\mathbb Z^2[/tex] è lo stesso che in [tex]\mathbb Z^2 \setminus \{(0,0)\}[/tex], quindi io non vedo la differenza! Potresti essere più chiaro?
Il tuo ragionamento e' corretto, applicando la definizione classica di gruppo fondamentale. La "provocazione" a cui si riferiva il (vecchio, ormai) titolo e' nel fatto che se abbandoniamo l'accademia e pensiamo che il gruppo fondamentale dovrebbe trovare i "buchi" di uno spazio topologico, allora in questo caso non trova un bel niente. Quindi, o facciamo finta di niente, o facciamo il salto di dire che la definizione di gruppo fondamentale e' sbagliata (almeno nel caso di spazi topologici fortemente disconnessi) e bisogna modificarla.
Scusa se ti sembrerò pedante... ma adesso la tua domanda mi sembra quantomeno mal posta.
Il problema è che nell'esempio che hai addotto tu il concetto stesso di topologia sembra inadeguato. Da un punto di vista topologico [tex]\mathbb Z^2 \setminus \{(0,0)\}[/tex] e [tex]\mathbb Z^2[/tex] sono indistinguibili (leggi omeomorfi), quindi come possiamo sperare di trovare una qualsiasi differenza?
Se vuoi trovare un modo di considerare quel buco, la topologia (euclidea) non è sicuramente la scelta migliore.
Update: Tu dici che se si vive in [tex]\mathbb Z^2 \setminus \{(0,0)\}[/tex] ci si accorge del buco... ma questo è sbagliato se non specifichi il punto di vista da cui si guarda il mondo. Da un punto di vista topologico il buco non c'è!
"Valerio Capraro":
[...] se abbandoniamo l'accademia e pensiamo che il gruppo fondamentale dovrebbe trovare i "buchi" di uno spazio topologico, allora in questo caso non trova un bel niente [...] la definizione di gruppo fondamentale è sbagliata.
Il problema è che nell'esempio che hai addotto tu il concetto stesso di topologia sembra inadeguato. Da un punto di vista topologico [tex]\mathbb Z^2 \setminus \{(0,0)\}[/tex] e [tex]\mathbb Z^2[/tex] sono indistinguibili (leggi omeomorfi), quindi come possiamo sperare di trovare una qualsiasi differenza?
Se vuoi trovare un modo di considerare quel buco, la topologia (euclidea) non è sicuramente la scelta migliore.
Update: Tu dici che se si vive in [tex]\mathbb Z^2 \setminus \{(0,0)\}[/tex] ci si accorge del buco... ma questo è sbagliato se non specifichi il punto di vista da cui si guarda il mondo. Da un punto di vista topologico il buco non c'è!
Io credo che dovrebbe essere la topologia ad adattarsi al mondo, non il mondo alla topologia.
Non vedi la differenza con gli omeomorfismi perche' gli omeomorfismi non sono la maniera adatta di confrontare due spazi topologici totalmente disconnessi.
Ps. non sei affatto pedante.
Pps. Fammi sapere se sei interessato a leggere qualcosa..
Non vedi la differenza con gli omeomorfismi perche' gli omeomorfismi non sono la maniera adatta di confrontare due spazi topologici totalmente disconnessi.
Ps. non sei affatto pedante.
Pps. Fammi sapere se sei interessato a leggere qualcosa..
"maurer":
Se vuoi trovare un modo di considerare quel buco, la topologia (euclidea) non è sicuramente la scelta migliore.
Diciamo pure che la topologia da sola non basta. E allora? Hai un suggerimento per la questione?
"Valerio Capraro":
Io credo che dovrebbe essere la topologia ad adattarsi al mondo, non il mondo alla topologia.
Non è certo una tua credenza esclusiva! Credo che Grothendieck prima di te e meglio di chiunque altro avesse chiaro questo tipo di concetto... Altrimenti, perché introdurre la nozione di schema, se la topologia fosse stata "giusta"?
"maurer":
Hai un suggerimento per la questione?
Ripeto che se sei interessato a leggere qualcosa, mandami una tua email in privato.
[xdom="gugo82"]Dico che questo comportamento mi pare ben lontano dallo spirito del forum.
E se fossero interessati alla lettura anche altri che seguono questo thread senza intervenire?
Non vedo cosa possa ostacolare il fornire un riferimento bibliografico in pubblico...
Se aveste voluto intavolare un discorso a due, avreste potuto usare i PM.[/xdom]
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