Gruppo finito

[rgiordan]

Ciao a tutti,
in una domanda su un testo d'esame di Algebra per informatici si chiede:

"Si provi che ogni gruppo finito di ordine un numero p primo è ciclico"

Da dove inizio?

Grazie!

[Gi81]

Sia $G$ generico gruppo di ordine $p$, con $p$ numero primo.
Tesi: $G$ è ciclico

Prendi un elemento generico $g$ del gruppo $G$, diverso dall'unità, e considera il sottogruppo generato da $g$....

[rgiordan]

Non mi è proprio chiaro il ragionamento che devo applicare.
Stando a quello che dice Lagrange, un gruppo che abbia un numero primo di elementi è anche ciclico e generato da qualsiasi elemento diverso dall'unità.
Potete per favore postarmi un esempio, o dimostrare il mio esercizio?

[Gi81]

Scusa, ma provare a fare quello che ho scritto io?
Prendi $g in G$, diverso dall'unità. Consideriamo $$, il sottogruppo di $G$ generato dall'elemento $g$.
$$ è ciclico ed ha sicuramente più di un elemento (almeno $g$ e l'unità). Sia $d$ l'ordine di $$
Sfruttiamo il teorema di Lagrange:

Un sottogruppo di un gruppo finito ha ordine (cioè numero di elementi) che divide l'ordine del gruppo

.... Sai andare avanti?

[vict85]

"rgiordan":Non mi è proprio chiaro il ragionamento che devo applicare.
Stando a quello che dice Lagrange, un gruppo che abbia un numero primo di elementi è anche ciclico e generato da qualsiasi elemento diverso dall'unità.
Potete per favore postarmi un esempio, o dimostrare il mio esercizio?

Ok, proviamo con un esempio. La dimostrazione praticamente te l'ha scritta tutta Gi8 (escluso un passaggio banale finale).

[tex]\mathbb{Z}_3[/tex]

[tex]\bar{1},\ 2\cdot\bar{1} = \bar{2},\ 3\cdot\bar{1} = \bar{0}[/tex]
[tex]\bar{2},\ 2\cdot\bar{2} = \bar{1},\ 3\cdot\bar{2} = \bar{0}[/tex]

[rgiordan]

Quindi mi dite che è sufficiente:

se $ord(G)=1$ è ovvio.
Se invece $ord(G)>1$, con $x!=1$, allora $pi(x)>1$ e $p$ divide $ord(G)$, essendo $ord(G)$ primo, ne segue che $p=ord(G)$.

[vict85]

"rgiordan":Quindi mi dite che è sufficiente:

se $ord(G)=1$ è ovvio.
Se invece $ord(G)>1$, con $x!=1$, allora $pi(x)>1$ e $p$ divide $ord(G)$, essendo $ord(G)$ primo, ne segue che $p=ord(G)$.

Scrivi solo[tex]o(g)[/tex]... è sufficiente e per i gruppi essendo insiemi è più consueto usare [tex]|G|[/tex]. Nel senso che l'ordine del gruppo è la cardinalità del suo supporto.

Il caso [tex]|G|= 1[/tex] lo trascurerei. Tieni conto che [tex]\{1\} = \langle 1\rangle = \langle \emptyset \rangle[/tex].

Comunque fai troppo casino. Come è definita la funzione [tex]\pi[/tex]? Intendi il sottogruppo generato? Nella teoria dei gruppi non c'è una definizione precisa di quel [tex]\pi[/tex]. Poi da dove hai tirato fuori [tex]p[/tex]? Non l'hai definito.

Come l'ha scritto Gi8 è il modo in cui la dimostrazione va detta. La parte finale è come hai detto tu. Ma la forma corretta in matematica è necessaria per fare dimostrazioni vere invece di abbozzi potenzialmente falsi.

I miei consigli sono:
1. Usa notazione standard
2. Non usare niente che tu non abbia definito.
3. Fai l'anteprima prima di postare :p