Gruppo di permutazioni e gruppo alterno

[RattoPazzo]

Sto leggendo il capitolo sui gruppi di permutazioni dell'Herstein, un aiuto su questi quattro esercizi?
a) Se $A_n$ contiene un sottogruppo normale $H$ che contiene anche un solo 3-ciclo, dimostra che $H=A_n$
b) Dimostra che $A_5$ non ha sottogruppi normali diversi da $(e)$ e $A_5$
c) Determinare i sottogruppi normali di $S_4$
d) Per $n>=5$ dimostrare che $A_n$ è l'unico sottogruppo normale non banale di $S_n$

[Studente Anonimo]

Ti avviso che (a), (b) e (c) sono fattibili ma non proprio facili (anche considerando la posizione di questi 'esercizi' nel libro, che ho sottomano: nel relativo capitolo ha solo introdotto le permutazioni e mostrato che ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti!), invece (d) è parecchio tecnico (perché lo puoi risolvere solo mostrando che $A_n$ è semplice per $n ge 5$).

Ti avviso anche che quelli che hai riportato sono esercizi in puro stile Herstein (con stellina): sono 'provocatori', hanno senso per te solo se hai già studiato questi risultati (in particolare la semplicità di $A_n$ per $n ge 5$) in libri di testo di stampo più classico. Oppure se sei così geniale che riesci a dimostrare la semplicità di $A_n$ senza aiuti.

Cosa hai provato a fare?

[Studente Anonimo]

Non ti vorrei scoraggiare, dopotutto anche per (d) si tratta di fare conti con le permutazioni. Devi mostrare che ogni sottogruppo normale non banale di $S_n$ deve contenere un $3$-ciclo (se $n ge 5$). È abbastanza tecnico ma fattibile.