Gruppo di ordine $pqr$
Ciao a tutti, oggi mi sono imbattuto in un esercizio sui gruppi ed ho trovato difficoltà nella risoluzione.
Dato un gruppo $G$ di ordine $pqr$ con $p
Poichè non mi riusciva di venirne a capo (il problema nel primo quesito riguardo lo scartare l'ipotesi $n_r=pq$) ho provato a ragionare su un esempio concreto. Allora siano $pqr=30$ cioè $p=2,q=3,r=5$. Ma non riesco a mostrare che $r$-sylow è normale in $G$. Sicuramente tale gruppo non è semplice, ma secondo quanto affermato sopra sia il $5$-sylow che il $3$-sylow dovrebbero essere normali in $G$, eppure a me qualcosa non torna.
Qualche idea o suggerimento?
Dato un gruppo $G$ di ordine $pqr$ con $p
Poichè non mi riusciva di venirne a capo (il problema nel primo quesito riguardo lo scartare l'ipotesi $n_r=pq$) ho provato a ragionare su un esempio concreto. Allora siano $pqr=30$ cioè $p=2,q=3,r=5$. Ma non riesco a mostrare che $r$-sylow è normale in $G$. Sicuramente tale gruppo non è semplice, ma secondo quanto affermato sopra sia il $5$-sylow che il $3$-sylow dovrebbero essere normali in $G$, eppure a me qualcosa non torna.
Qualche idea o suggerimento?
Risposte
Hai provato a contare gli $r$-sylow!
Beh sì e i conti non tornano.
Il loro numero deve dividere $pq$ ed essere congruo a $1$ mod $r$. Potrebbe perciò essere $p,q,pq,1$. Ovviamente $p,q$ sono da escludere, poichè entrambi minori di $r$, ma $pq$ potrebbe benissimo essere congruo ad $1$ mod $r$, come accade ad esempio nel gruppo di ordine $30$. Ed è proprio qui che non riesco ad andare avanti.
Il loro numero deve dividere $pq$ ed essere congruo a $1$ mod $r$. Potrebbe perciò essere $p,q,pq,1$. Ovviamente $p,q$ sono da escludere, poichè entrambi minori di $r$, ma $pq$ potrebbe benissimo essere congruo ad $1$ mod $r$, come accade ad esempio nel gruppo di ordine $30$. Ed è proprio qui che non riesco ad andare avanti.
Ti consiglio di fare così:
supponi per assurdo R non normale. Allora ci sono pq r-Sylow e quindi pq(r-1) elementi di ordine r. Gli elementi che non hanno ordine r sono quindi pq.
In base a questo dimostri che c'è un solo q-Sylow, escludendo le altre possibilità tramite opportune disuguaglianze.
Quindi il q-Sylow è normale, chiamalo Q. Prendi un r-Sylow R. R è isomorfo a un r-Sylow di G/Q, che ha ordine pr. E' facile mostrare che in G/Q c'è un solo r-Sylow, e deve coincidere con RQ/Q. In particolare RQ è normale in G, e quindi tutti i coniugati di R sono contenuti in RQ.
Segue che il numero di r-Sylow di G è uguale al numero di r-Sylow di RQ, ed ora dedurre un assurdo è facile.
[Vedi qui per ulteriori dettagli]
supponi per assurdo R non normale. Allora ci sono pq r-Sylow e quindi pq(r-1) elementi di ordine r. Gli elementi che non hanno ordine r sono quindi pq.
In base a questo dimostri che c'è un solo q-Sylow, escludendo le altre possibilità tramite opportune disuguaglianze.
Quindi il q-Sylow è normale, chiamalo Q. Prendi un r-Sylow R. R è isomorfo a un r-Sylow di G/Q, che ha ordine pr. E' facile mostrare che in G/Q c'è un solo r-Sylow, e deve coincidere con RQ/Q. In particolare RQ è normale in G, e quindi tutti i coniugati di R sono contenuti in RQ.
Segue che il numero di r-Sylow di G è uguale al numero di r-Sylow di RQ, ed ora dedurre un assurdo è facile.
[Vedi qui per ulteriori dettagli]
Ti ringrazio per l'idea Martino. Questa sera prova a scriverla per bene e poi la posto
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